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फ्रैक्टल्ससीरपिन्स्की ट्रायंगल

पढ़ने का समय: ~25 min

पिछले अध्याय में हमने जो फ्रैक्टल्स देखे उनमें से एक सीरपिन्स्की त्रिकोण था, जिसका नाम पोलिश गणितज्ञ वाक्लाव सीरपैंस्की के नाम पर रखा गया है। इसे एक बड़े, समबाहु त्रिभुज से शुरू करके बनाया जा सकता है, और फिर इसके केंद्र से छोटे त्रिभुजों को बार-बार काटकर बनाया जा सकता है।

वक्लाव सीरपीस्की इस त्रिकोण के गुणों के बारे में सोचने वाले पहले गणितज्ञ थे, लेकिन यह कई सदियों पहले कलाकृति, पैटर्न और मोज़ाइक में दिखाई दिया है।

यहाँ रोम में विभिन्न चर्चों से फर्श के झुकाव के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

जैसा कि यह पता चला है, Sierpinski त्रिकोण गणित के अन्य क्षेत्रों की एक विस्तृत श्रृंखला में दिखाई देता है, और इसे उत्पन्न करने के कई अलग-अलग तरीके हैं। इस अध्याय में, हम उनमें से कुछ का पता लगाएंगे!

पास्कल का त्रिकोण

आपको पहले से ही पास्कल के त्रिकोण पर हमारे अध्याय से Sierpinski त्रिकोण याद हो सकता है। यह एक संख्या पिरामिड है जिसमें प्रत्येक संख्या ऊपर की दो संख्याओं का योग है। नीचे दिए गए त्रिकोण में सभी यहां तक कि संख्याओं पर टैप करें, उन्हें हाइलाइट करने के लिए - और देखें कि क्या आप एक पैटर्न देखते हैं:

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6435
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8008
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12376
19448
24310
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12376
6188
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18564
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पास्कल के त्रिकोण को हमेशा के लिए नीचे की ओर जारी रखा जा सकता है, और सीरपिन्स्की पैटर्न बड़े और बड़े त्रिकोणों के साथ जारी रहेगा। आप पहले से ही एक भी बड़े त्रिभुज की शुरुआत देख सकते हैं, पंक्ति 16 में शुरू कर सकते हैं।

यदि दो आसन्न कोशिकाएँ 2 से विभाज्य हैं, तो नीचे दिए गए सेल में उनकी राशि भी 2 से विभाज्य होनी चाहिए - यही कारण है कि हम केवल रंगीन त्रिकोण (या एकल कोशिका) प्राप्त कर सकते हैं। बेशक, हम 2_ के अलावा अन्य संख्या _द्वारा विभाज्य सभी रंगों को रंगने की कोशिश कर सकते हैं। आपको क्या लगता है उन मामलों में क्या होगा?

Divisible by ${n}:

यहां आप पास्कल के त्रिकोण की पहली 128 पंक्तियों का एक छोटा संस्करण देख सकते हैं। हमने ${n} द्वारा विभाज्य सभी कोशिकाओं पर प्रकाश डाला है - आप क्या देखते हैं?

हर संख्या के लिए, हम Sierpinski त्रिकोण के समान एक अलग त्रिकोणीय पैटर्न है। यदि हम चुनते हैं तो पैटर्न विशेष रूप से नियमित है। यदि संख्या में कई अलग-अलग प्रमुख कारक हैं, तो पैटर्न अधिक यादृच्छिक दिखता है।

कैओस गेम

यहां आप एक समबाहु त्रिभुज के तीन कोने देख सकते हैं। चौथा बिंदु बनाने के लिए ग्रे क्षेत्र में कहीं भी टैप करें।

चलो एक साधारण खेल खेलते हैं: हम त्रिकोण के शीर्ष में से एक को यादृच्छिक पर चुनते हैं, हमारे बिंदु और शीर्ष के बीच एक रेखा खंड खींचते हैं, और फिर उस खंड का मध्यबिंदु पाते हैं।

अब हम इस प्रक्रिया को दोहराते हैं: हम एक और यादृच्छिक शीर्ष चुनते हैं, खंड को हमारे अंतिम बिंदु से खींचते हैं, और फिर मिडपॉइंट पाते हैं। ध्यान दें कि हम इन नए बिंदुओं को उस त्रिकोण के शीर्ष के रंग के आधार पर रंगते हैं जो हमने उठाया था।

अब तक, कुछ भी आश्चर्यजनक नहीं हुआ है - लेकिन जैसा कि हम एक ही प्रक्रिया को कई बार दोहराते हैं:

इस प्रक्रिया को कैओस गेम कहा जाता है। शुरुआत में कुछ आवारा बिंदु हो सकते हैं, लेकिन यदि आप एक ही चरण को कई बार दोहराते हैं, तो डॉट्स का वितरण बिल्कुल सियरपिन्स्की त्रिकोण जैसा दिखता है!

इसके कई अन्य संस्करण हैं - उदाहरण के लिए, हम एक वर्ग या एक पेंटागन के साथ शुरू कर सकते हैं, हम अतिरिक्त नियम जोड़ सकते हैं जैसे एक पंक्ति में दो बार एक ही शीर्ष का चयन करने में सक्षम नहीं होना, या हम एक अनुपात में अगला बिंदु चुन सकते हैं। खंड के साथ 12 के अलावा। इनमें से कुछ मामलों में, हमें बस डॉट्स का एक यादृच्छिक वितरण मिलता है, लेकिन अन्य मामलों में, हम और भी अधिक भग्न प्रकट करते हैं:

Triangle
Square
Pentagon

क्या आपने [__स्वर्ण अनुपात / 488} के आधार पर या यह की खोज की?

सेलुलर ऑटोमेटा

एक सेल्यूलर ऑटोमेटन एक ग्रिड है जिसमें कई अलग-अलग सेल होते हैं। प्रत्येक कोशिका अलग-अलग "अवस्थाओं" (जैसे अलग-अलग रंगों) में हो सकती है, और हर कोशिका की स्थिति उसके आसपास की कोशिकाओं द्वारा निर्धारित होती है।

हमारे उदाहरण में, प्रत्येक कोशिका काला या सफेद हो सकती है। हम एक पंक्ति से शुरू करते हैं जिसमें सिर्फ एक काला वर्ग होता है। प्रत्येक निम्नलिखित पंक्ति में, प्रत्येक कोशिका का रंग तीन कोशिकाओं द्वारा तुरंत ऊपर निर्धारित किया जाता है। उनके रंग को फ्लिप करने के लिए नीचे दिए गए आठ संभावित विकल्पों पर टैप करें - क्या आप नियमों का एक सेट पा सकते हैं जो Sierpinski त्रिकोण के समान एक पैटर्न बनाता है?

आठ विकल्पों में से प्रत्येक के लिए दो विकल्प हैं, जिसका अर्थ है कि कुल ४ ९ ५ 28= संभव नियम हैं। कुछ, जैसे , सियरपिंस्की त्रिकोण जैसा दिखता है। अन्य, जैसे , पूरी तरह से अराजक लगते हैं। यह 1983 में स्टीफन वोल्फ्राम द्वारा खोजा गया था, और कंप्यूटर भी उन्हें यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए उपयोग कर सकते हैं!

सेलुलर ऑटोमेटा दिखाते हैं कि बहुत सरल नियमों द्वारा कैसे अत्यधिक जटिल पैटर्न बनाए जा सकते हैं - जैसे भग्न। प्रकृति में कई प्रक्रियाएं भी सरल नियमों का पालन करती हैं, फिर भी अविश्वसनीय रूप से जटिल प्रणालियों का उत्पादन करती हैं।

कुछ मामलों में, यह उन पैटर्न की उपस्थिति का कारण बन सकता है जो सेलुलर ऑटोमेटा की तरह दिखते हैं, उदाहरण के लिए इस घोंघे के खोल पर रंग।

कोनस टेक्सटाइल, एक विषैला समुद्री घोंघा

सीरपिन्स्की टेट्राहेड्रा

Sierpinski त्रिकोण के कई प्रकार हैं, और समान गुणों और निर्माण प्रक्रियाओं के साथ अन्य भग्न हैं। कुछ 2-आयामी दिखते हैं, जैसे सीरपिन्स्की कालीन जैसा आपने ऊपर देखा। अन्य 3-आयामी दिखते हैं, इन उदाहरणों की तरह:

सीरपिन्स्की टेट्राहेड्रा

सीरपिन्स्की पिरामिड

Archie