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मंडलियां और पाईडिग्री और रेडियन

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अब तक ज्यामिति में, हमने हमेशा कोणों को डिग्री में मापा है। ए पूर्ण चक्र घूर्णन °, a है आधा वृत्त °, a है क्वार्टर सर्कल ° है, और इसी तरह।

संख्या 360 बहुत सुविधाजनक है क्योंकि यह कई अन्य संख्याओं से विभाज्य है: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, और इसी तरह। इसका मतलब है कि एक सर्कल के कई अंश भी पूरी संख्या में हैं। लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि 360 नंबर कहां से आता है?

जैसा कि होता है, 360 डिग्री गणित की सबसे पुरानी अवधारणाओं में से एक है जिसका उपयोग हम आज भी करते हैं। वे 5000 साल से अधिक पुराने बाबुल में विकसित किए गए थे!

उस समय, गणित के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक खगोल विज्ञान में था। सूरज चार मौसमों को निर्धारित करता है, जिसे किसानों को फसल उगाने के बारे में जानना होता है। इसी तरह, चंद्रमा ज्वार का निर्धारण करता है, जो मछुआरों के लिए महत्वपूर्ण था। लोगों ने भविष्य का अनुमान लगाने, या देवताओं के साथ संवाद करने के लिए सितारों का भी अध्ययन किया।

गणना के लिए एक बेबीलोन की गोली 2

खगोलविदों ने देखा कि रात के दौरान एक विशिष्ट समय पर दिखाई देने वाले नक्षत्र हर दिन एक छोटे से स्थान पर स्थानांतरित हो जाते हैं - जब तक कि लगभग 360 दिनों के बाद, वे अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ गए थे। और यही कारण हो सकता है कि उन्होंने सर्कल को 360 डिग्री में विभाजित किया।

Midnight on day ${day}

बेशक, एक वर्ष में वास्तव में 365 दिन हैं (ठीक है, 365.242199 सटीक होने के लिए), लेकिन बेबीलोन के गणितज्ञों ने सरल सूंडियों के साथ काम किया, और यह सन्निकटन पूरी तरह से पर्याप्त था।

इसने उनके मौजूदा बेस -60 नंबर सिस्टम (तब से) के साथ भी अच्छा काम किया 6×60=360 )। यह प्रणाली यही कारण है कि हमारे पास अभी भी एक मिनट में 60 सेकंड और एक घंटे में 60 मिनट हैं - भले ही अधिकांश अन्य इकाइयों को आधार 10 (जैसे एक दशक में 10 साल, या एक सदी में 100 साल) में मापा जाता है।

हम में से कई के लिए, डिग्री में कोणों को मापना दूसरी प्रकृति है: 360° वीडियो है, स्केटबोर्डर्स 540s खींच सकते हैं, और कोई व्यक्ति अपना निर्णय बदलकर 180° मोड़ सकता है।

लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, 360 का चुनाव पूरी तरह से मनमाना है। यदि हम मंगल ग्रह पर रह रहे थे, तो एक चक्र में 670° और बृहस्पति पर एक वर्ष में 10,475 दिन हो सकते हैं।

540 मैकफ़्लिप, एक 540° रोटेशन

रेडियंस

सर्कल को कुछ संख्याओं (जैसे 360 डिग्री) में विभाजित करने के बजाय, गणितज्ञ अक्सर एक इकाई सर्कल (त्रिज्या 1 के साथ एक सर्कल) की परिधि का उपयोग करके कोणों को मापना पसंद करते हैं।

की परिधि है

के लिए , परिधि के साथ संबंधित दूरी है

के लिए , परिधि के साथ दूरी है

और इसी तरह: कोणों को मापने के इस तरीके को रेडियन कहा जाता है (आप इसे "त्रिज्या इकाइयों" के रूप में याद कर सकते हैं)।

डिग्रियों में हर कोण का रेडियन में एक बराबर आकार होता है। दोनों के बीच परिवर्तित करना बहुत आसान है - जैसे आप मीटर और किलोमीटर, या सेल्सियस और फाहेहाइट जैसी अन्य इकाइयों के बीच परिवर्तित कर सकते हैं:

360° = 2 π रेड


= रेड


1 रेड = °

आप रेडियंस π की एक बहु के रूप में या तो महत्व देते हैं, या केवल एक दशमलव संख्या के रूप में लिख सकते हैं। क्या आप डिग्री और रेडियन में समकक्ष कोण आकार की इस तालिका को भर सकते हैं?

डिग्री060180
रेडियन0232π

यात्रा की दूरी

आप रेडियन के बारे में सोच सकते हैं कि यूनिट सर्कल की परिधि के साथ "दूरी की दूरी" है। यह उन वस्तुओं के साथ काम करते समय विशेष रूप से उपयोगी है जो एक गोलाकार रास्ते पर बढ़ रहे हैं।

उदाहरण के लिए, अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन हर 1.5 घंटे में एक बार पृथ्वी की परिक्रमा करता है। इसका मतलब है कि इसके घूमने की गति है प्रति घंटे रेडियन।

एक यूनिट सर्कल में , रोटेशन की गति वास्तविक गति के समान होती है, क्योंकि परिधि की लंबाई रेडियन में एक पूर्ण रोटेशन के समान होती है (दोनों हैं) 2π )।

आईएसएस कक्षा की त्रिज्या 6800  किमी है, जिसका अर्थ है कि आईएसएस की वास्तविक गति होनी चाहिए = 28483 किमी प्रति घंटा।

${round(p*1.5,1)}h

क्या आप देख सकते हैं कि, इस उदाहरण में, रेडियन डिग्री की तुलना में बहुत अधिक सुविधाजनक इकाई हैं? एक बार जब हम रोटेशन की गति जानते हैं, तो हमें वास्तविक गति प्राप्त करने के लिए बस त्रिज्या से गुणा करना होगा।

यहां एक और उदाहरण दिया गया है: आपकी कार में 0.25  मी त्रिज्या वाले पहिये हैं। यदि आप 20  m / s की गति से गाड़ी चला रहे हैं, तो आपकी कार के पहिए घूमते हैं रेडियन प्रति सेकंड (या 802π=13 रोटेशन प्रति सेकंड)।

त्रिकोणमिति

अधिकांश सरल ज्यामिति समस्याओं के लिए, डिग्री और रेडिएंस पूरी तरह से विनिमेय हैं - आप या तो जो चाहें उसे चुन सकते हैं, या एक प्रश्न आपको बता सकता है कि आपका उत्तर देने के लिए कौन सी इकाई है। हालांकि, एक बार जब आप अधिक उन्नत त्रिकोणमिति या पथरी का अध्ययन करते हैं, तो यह पता चला है। रेडियन डिग्री की तुलना में बहुत अधिक सुविधाजनक हैं।

अधिकांश कैलकुलेटर में डिग्री और रेडियन के बीच स्विच करने के लिए एक विशेष बटन होता है। ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शंस जैसे पाप , कॉस और टैन एंगल्स को इनपुट के रूप में लेते हैं, और उनके उलटा फ़ंक्शन आर्क्सिन , आर्कोस और आर्कटन रिटर्न एंगल्स को आउटपुट के रूप में पेश करते हैं। वर्तमान कैलकुलेटर सेटिंग यह निर्धारित करती है कि इन कोणों के लिए कौन सी इकाइयों का उपयोग किया जाता है।

गणना करने के लिए इस कैलकुलेटर का उपयोग करने का प्रयास करें

पाप (30°) = cos (1°) =
sin (30 रेड) = cos (1 रेड) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

साइन फ़ंक्शन का उपयोग करते समय रेडियन का उपयोग करना एक विशेष रूप से दिलचस्प लाभ है। अगर θ एक बहुत छोटा कोण है (20° या 0.3 रेड से कम), तब sinθθ । उदाहरण के लिए,

पाप ( ${x} ) ${sin(x)} ...

इसे छोटा कोण सन्निकटन कहा जाता है, और यह त्रिकोणमितीय कार्यों वाले कुछ समीकरणों को सरल बना सकता है। आप भविष्य में इसके बारे में अधिक जानेंगे।

Archie