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मंडलियां और पाईपरिचय

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जब तक मनुष्य का अस्तित्व है, हमने आकाश की ओर देखा है और पृथ्वी पर सितारों, ग्रहों और चंद्रमा की गति का उपयोग करके जीवन को समझाने की कोशिश की है।

प्राचीन ग्रीक खगोलविदों ने पहली बार पता लगाया था कि सभी आकाशीय पिंड नियमित पथों पर चलते हैं, जिन्हें कक्षा कहा जाता है । उनका मानना था कि ये परिक्रमाएं हमेशा गोलाकार होती हैं। आखिरकार, मंडलियां सभी आकृतियों के "सबसे उत्तम" हैं: हर दिशा में सममित, और इस प्रकार हमारे ब्रह्मांड के अंतर्निहित क्रम के लिए एक उपयुक्त विकल्प।

पृथ्वी टॉलेमिक ब्रह्मांड के केंद्र में है

एक वृत्त पर प्रत्येक बिंदु अपने केंद्र से समान दूरी पर है। इसका मतलब है कि उन्हें कम्पास का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है:

मंडलियों से संबंधित तीन महत्वपूर्ण माप हैं जिन्हें आपको जानना आवश्यक है:

  • त्रिज्या एक वृत्त के केंद्र से उसके बाहरी रिम तक की दूरी है।
  • व्यास एक वृत्त पर दो विपरीत बिंदुओं के बीच की दूरी है। यह अपने केंद्र से गुजरता है, और इसकी लंबाई त्रिज्या
  • परिधि (या परिधि) एक वृत्त के चारों ओर की दूरी है।

मंडलियों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि सभी मंडल समान हैं । आप यह साबित कर सकते हैं कि कैसे सभी हलकों का मिलान और अनुवादों के उपयोग से मिलान किया जा सकता है :

आपको याद हो सकता है कि, समान बहुभुजों के लिए, संबंधित पक्षों के बीच का अनुपात हमेशा स्थिर होता है। सर्कल के लिए कुछ समान काम करता है: परिधि और व्यास के बीच का अनुपात सभी सर्कल के लिए समान है। एक रहस्यमय संख्या पाई कहा जाता है, जो अक्सर "पी" के लिए ग्रीक अक्षर π रूप में लिखा है - यह हमेशा 3.14159 है ...। पाई में अनंत रूप से कई दशमलव अंक हैं जो बिना किसी विशिष्ट पैटर्न के हमेशा के लिए चलते हैं:

यहां व्यास 1 के साथ एक पहिया है। जैसा कि आप परिधि को "अनियंत्रित" करते हैं, आप देख सकते हैं कि इसकी लंबाई बिल्कुल है :

01234π

व्यास d के साथ एक वृत्त के लिए, परिधि है C=π×d । इसी तरह, त्रिज्या आर के साथ एक सर्कल के लिए, परिधि है

C=

मंडल पूरी तरह से सममित हैं, और उनके पास बहुभुज के कोनों की तरह कोई "कमजोर बिंदु" नहीं है। यह एक कारण है कि वे प्रकृति में हर जगह क्यों पाए जा सकते हैं:

पुष्प

ग्रह

पेड़

फल

साबुन के बुलबुले

और ऐसे कई अन्य उदाहरण हैं: इंद्रधनुष से लेकर पानी की लहर तक। क्या आप कुछ और सोच सकते हैं?

यह भी पता चला है कि किसी परिधि के लिए सबसे बड़े क्षेत्र के साथ एक चक्र आकार है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास लंबाई 100  मीटर की रस्सी है, तो आप इसका उपयोग सबसे बड़ा स्थान घेरने के लिए कर सकते हैं यदि आप एक सर्कल बनाते हैं (आयत या त्रिकोण जैसे अन्य आकृतियों के बजाय)।

प्रकृति में, पानी की बूंदें या हवा के बुलबुले जैसी वस्तुएं गोलाकार या गोलाकार बनकर और उनके सतह क्षेत्र को कम करके ऊर्जा बचा सकती हैं।

Triangle
Square
Pentagon
Circle

परिधि = 100 , क्षेत्र = ${area}

एक वृत्त का क्षेत्र

लेकिन हम वास्तव में एक सर्कल के क्षेत्र की गणना कैसे करते हैं? आइए हम उसी तकनीक का प्रयास करें जिसका उपयोग हमने चतुर्भुज के क्षेत्र को खोजने के लिए किया था: हम आकृति को कई अलग-अलग हिस्सों में काटते हैं, और फिर उन्हें एक अलग आकार में पुनर्व्यवस्थित करते हैं जिसे हम पहले से ही (जैसे एक आयत या एक त्रिकोण) के क्षेत्र को जानते हैं।

एकमात्र अंतर यह है कि, क्योंकि वृत्त घुमावदार हैं, हमें कुछ अनुमानों का उपयोग करना होगा:

rπr

यहाँ आप एक वृत्त को विभाजित में देख सकते हैं ${toWord(n1)} wedges। स्लाइडर को एक पंक्ति में पंक्तिबद्ध करने के लिए ले जाएँ।

अगर हम वेजेस की संख्या बढ़ाते हैं ${n1} , यह आकृति एक तरह अधिक से अधिक दिखने लगती है

आयत की ऊंचाई बराबर है वृत्त का आयत की चौड़ाई बराबर है वृत्त का (ध्यान दें कि कैसे आधे वेजेज का सामना करना पड़ता है और उनमें से आधे का सामना करना पड़ता है।)

इसलिए आयत का कुल क्षेत्रफल लगभग है A=πr2

r2πr

यहाँ आप एक वृत्त को विभाजित में देख सकते हैं ${toWord(n)} के छल्ले। पहले की तरह, आप रिंग को स्लाइडर को "अनर्गल" कर सकते हैं।

अगर हम छल्ले की संख्या में वृद्धि करते हैं ${n2} , यह आकृति तरह अधिक से अधिक दिखने लगती है

त्रिकोण की ऊंचाई बराबर है वृत्त की त्रिकोण का आधार बराबर है वृत्त इसलिए त्रिभुज का कुल क्षेत्रफल लगभग है

A=12base×height=πr2

यदि हम असीम रूप से कई रिंग्स या वेजेज का उपयोग कर सकते हैं, तो ऊपर दिए गए अनुमान सही होंगे - और वे दोनों हमें एक सर्कल के क्षेत्र के लिए एक ही फॉर्मूला देते हैं:

A=πr2

पाई की गणना

जैसा कि आपने ऊपर देखा, π=3.1415926 एक साधारण पूर्णांक नहीं है, और इसके दशमलव अंक बिना किसी दोहराए पैटर्न के हमेशा के लिए चलते हैं। इस गुण वाली संख्या को अपरिमेय संख्या कहा जाता है, और इसका अर्थ है कि π एक साधारण अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है ab

इसका यह भी अर्थ है कि हम पाई के सभी अंकों को कभी नहीं लिख सकते हैं - आखिरकार, असीम रूप से कई हैं। प्राचीन ग्रीक और चीनी गणितज्ञों ने नियमित बहुभुज का उपयोग करते हुए मंडलियों को लगाकर पाई के पहले चार दशमलव अंकों की गणना की। ध्यान दें कि जब आप अधिक पक्ष जोड़ते हैं, तो बहुभुज दिखने लगता है एक सर्कल की तरह:

1665 में, आइजैक न्यूटन 15 अंकों की गणना करने में कामयाब रहे। आज, हम बहुत अधिक सटीकता से पाई के मूल्य की गणना करने के लिए शक्तिशाली कंप्यूटर का उपयोग कर सकते हैं।

वर्तमान रिकॉर्ड 31.4 ट्रिलियन अंकों का है। इन सभी अंकों वाली एक मुद्रित पुस्तक लगभग 400  किमी मोटी होगी - वह ऊँचाई जिस पर अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन पृथ्वी की परिक्रमा करता है!

बेशक, आपको याद रखने की ज़रूरत नहीं है कि पाई के कई अंक। वास्तव में, अंश 227=3.142 एक महान सन्निकटन है।

पाई की गणना के लिए एक दृष्टिकोण संख्याओं के अनंत अनुक्रमों का उपयोग कर रहा है। यहाँ एक उदाहरण है जो 1676 में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ द्वारा खोजा गया था:

π=4143+4547+494+

जैसा कि हम इस श्रृंखला के अधिक से अधिक शब्दों की गणना करते हैं, हमेशा उसी पैटर्न का अनुसरण करते हुए, परिणाम करीब और पाई के करीब पहुंच जाएगा।

कई गणितज्ञों का मानना है कि पाई के पास और भी अधिक उत्सुक संपत्ति है: कि यह एक सामान्य संख्या है । इसका मतलब यह है कि 0 से 9 तक के अंक पूरी तरह से यादृच्छिक पर दिखाई देते हैं, जैसे कि प्रकृति ने पाई के मूल्य को निर्धारित करने के लिए, कई बार 10-पक्षीय पासा को असीम रूप से लुढ़काया था।

यहां आप पाई के पहले 100 अंक देख सकते हैं। कुछ कोशिकाओं को स्थानांतरित करें, यह देखने के लिए कि अंक कैसे वितरित किए जाते हैं।

3
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1
5
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4
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1
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0
6
7
9

यदि पाई सामान्य है, तो इसका मतलब है कि आप अंकों के किसी भी स्ट्रिंग के बारे में सोच सकते हैं, और यह इसके अंकों में कहीं दिखाई देगा। यहां आप पाई के पहले दस लाख अंकों की खोज कर सकते हैं - क्या उनमें आपका जन्मदिन है?

पाई के एक लाख अंक

Search for a string of digits:
3.

हम हैरी पॉटर की तरह एक पूरी किताब को भी अंकों के बहुत लंबे स्ट्रिंग में बदल सकते हैं (a = 01, b = 02, और इसी तरह)। यदि पाई सामान्य है, तो यह स्ट्रिंग अपने अंकों में कहीं दिखाई देगी - लेकिन इसे खोजने के लिए पर्याप्त अंकों की गणना करने में लाखों साल लगेंगे।

पाई को समझना आसान है, लेकिन विज्ञान और गणित में मौलिक महत्व है। यही कारण है कि हमारी संस्कृति में पाई असामान्य रूप से लोकप्रिय हो गई है (कम से कम, गणित के अन्य विषयों की तुलना में):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

यहां तक कि हर साल एक पाई दिन है, जो या तो 14 मार्च को पड़ता है, क्योंकि π3.14 , या 22 जुलाई को, क्योंकि π227