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मंडलियां और पाईस्पर्शरेखाएँ, तार और आर्क

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पिछले अनुभागों में, आपने एक सर्कल के कई अलग-अलग हिस्सों में दिए गए नामों को सीखा - जैसे केंद्र, त्रिज्या, व्यास और परिधि। हालांकि, एक सर्कल से संबंधित कई ज्यामितीय तत्व हैं, जिन्हें हमें अधिक जटिल समस्याओं को हल करने की आवश्यकता होगी:

  • secant एक ऐसी रेखा है जो दो बिंदुओं पर एक वृत्त को काटती है।
  • कॉर्ड एक लाइन सेगमेंट है जिसका एंडपॉइंट एक सर्कल की परिधि पर स्थित है।
  • स्पर्शरेखा वह रेखा है जो किसी वृत्त को बिल्कुल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इसे स्पर्शरेखा का बिंदु कहा जाता है।
  • एक चाप एक वृत्त की परिधि का एक खंड है।
  • सेक्टर एक सर्कल के इंटीरियर का एक हिस्सा है, जो एक चाप और दो रेडी द्वारा घिरा हुआ है।
  • अंत में, ए सेगमेंट एक सर्कल के इंटीरियर का एक हिस्सा है, जो एक चाप और एक कॉर्ड द्वारा घिरा हुआ है।

इस खंड में, हम इन सभी तत्वों के बीच संबंध को देखेंगे, और उनके गुणों के बारे में प्रमेय साबित करेंगे। अब के लिए सभी परिभाषाओं को याद रखने के बारे में चिंता न करें - आप हमेशा शब्दावली का उपयोग कर सकते हैं।

स्पर्शरेखा

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कॉर्ड्स

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आर्क और सेक्टर

प्राचीन ग्रीस के अधिकांश वैज्ञानिक सहमत थे कि पृथ्वी एक गोला है। वहाँ बहुत सारे सबूत थे: समुद्र में क्षितिज के पीछे गायब होने वाले जहाजों से, रात के दौरान सितारों की परिपत्र गति तक।

दुर्भाग्य से, कोई नहीं जानता था कि पृथ्वी कितनी बड़ी थी - लगभग 200 ईसा पूर्व तक, जब गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने बुनियादी ज्यामिति का उपयोग करके पृथ्वी की त्रिज्या को मापने का एक सरल तरीका पाया। सभी की जरूरत है हम एक सर्कल के आर्क्स और सेक्टरों के बारे में थोड़ा और ज्ञान रखते हैं।

जैसा कि आप आरेख में देख सकते हैं, ए चाप का एक हिस्सा है एक वृत्त की , और a सेक्टर का एक हिस्सा है एक वृत्त की

दो बिंदुओं A और B के बीच के आर्क को अक्सर लिखा जाता है AB । यह परिभाषा थोड़ी अस्पष्ट है: एक है दूसरा चाप जो और बी को जोड़ता है लेकिन सर्कल के चारों ओर दूसरा रास्ता जाता है।

दो चापों में से छोटे को लघु चाप कहा जाता है, और बड़े को प्रमुख चाप कहा जाता है। यदि अंक A और B एक दूसरे के बिल्कुल विपरीत हैं, तो दोनों चापों की लंबाई समान है और

एक चाप की लंबाई या किसी सेक्टर के क्षेत्र को खोजने के लिए, हमें सर्कल के केंद्र में संबंधित कोण के बारे में जानना होगा: इसे सेक्टर कहा जाता है। केंद्रीय कोण

ध्यान दें कि चाप, क्षेत्र और कोण सभी एक पूर्ण वृत्त के समान अनुपात को कैसे लेते हैं। उदाहरण के लिए, यदि केंद्रीय कोण है , यह लेता है पूरा घेरा

इसका मतलब यह है कि चाप की लंबाई भी है 14 का सर्कल की पूरी परिधि , और क्षेत्र का क्षेत्र है 14 का सर्कल के पूरे क्षेत्र

हम इस रिश्ते को एक समीकरण में व्यक्त कर सकते हैं:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

अब हम इन समीकरणों को फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं।

चाप की लंबाई=circumference×c360
=2πr×c360
सेक्टर क्षेत्र=circle area×c360
=πr2×c360

जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, और c केंद्रीय कोण का आकार है।

यदि केंद्रीय कोण को डिग्री के बजाय रेडियन में मापा जाता है, तो हम समान समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन 360° के साथ प्रतिस्थापित करना होगा :

चाप की लंबाई=2πr×c2π
=r×c
सेक्टर क्षेत्र=πr2×c2π
=12r2c

ध्यान दें कि कैसे समीकरण बहुत सरल हो जाते हैं, और हर जगह els रद्द हो जाते हैं। इसका कारण यह है, जैसा कि आप याद कर सकते हैं, रेडियंस की परिभाषा मूल रूप से त्रिज्या 1 के साथ एक सर्कल में एक चाप की लंबाई है।

अब देखते हैं कि हम पृथ्वी की परिधि की गणना करने के लिए आर्क्स और सेक्टरों का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

प्राचीन मिस्र में, स्वेनेट शहर नील नदी के किनारे स्थित था। स्वेनेट एक जिज्ञासु संपत्ति के साथ एक कुएं के लिए प्रसिद्ध था: हर साल एक पल था जब सूरज की रोशनी कुएं के बहुत नीचे तक पहुंच गई थी - 21 जून को दोपहर में, गर्मियों में संक्रांति के दिन। उस सटीक समय में, कुएं का तल रोशन था, लेकिन इसके किनारे नहीं, जिसका अर्थ है कि सूर्य सीधे कुएं के ऊपर खड़ा था।

प्राचीन मिस्रियों ने चलने के लिए उठाए गए कदमों की संख्या की गिनती करके लंबी दूरी को मापा।

कुछ सूत्रों का कहना है कि नील नदी पर स्थित एलिफेंटाइन द्वीप पर "वेल ऑफ़ एराटोस्थनीज" था।

गणितज्ञ एरेटोस्थेनेज अलेक्जेंड्रिया में रहते थे, के बारे में 800  किमी Swenet, जहां वह महान लाइब्रेरी के निदेशक थे के उत्तर में। अलेक्जेंड्रिया के शहर के केंद्र में एक ओबिलिस्क खड़ा था, एक पिरामिड आकार के शीर्ष के साथ एक लंबा, संकीर्ण स्मारक।

एराटोस्थनीज़ ने देखा कि गर्मियों में संक्रांति के दिन दोपहर में, ओबिलिस्क ने एक छाया फेंक दी - जिसका अर्थ है कि सूरज सीधे इसके ऊपर नहीं था। उन्होंने कहा कि यह पृथ्वी की वक्रता के कारण था, और यह महसूस किया कि इसका उपयोग हमारे ग्रह की परिधि की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

यहां आप स्वेनेट में कुएं और साथ ही अलेक्जेंड्रिया में ओबिलिस्क देख सकते हैं। सूरज की किरणें सीधे कुएँ में गिरती हैं, लेकिन एक कोण पर ओबिलिस्क से टकराती हैं और छाया डालती हैं।

एराटोस्थनीज ने मापा कि द छाया का कोण 7.2° था। यह भी वैसा ही है का केंद्रीय कोण अलेक्जेंड्रिया से स्वेनेट तक आर्क , क्योंकि वे - कोण।

अब हम आर्क लंबाई के लिए समीकरण का उपयोग कर सकते हैं जिसे हमने ऊपर प्राप्त किया है:

arc lengthcircumference=°360°

यदि हम इसे पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो हम पाते हैं कि पृथ्वी की परिधि है

circumference=360°7.2°×800 km=km

अंत में, हम जानते हैं कि एक वृत्त की परिधि है C=2πr , इसलिए पृथ्वी की त्रिज्या है

rEarth=40000km2π6400km

एराटोस्थनीज का माप पुरातनता में सबसे महत्वपूर्ण प्रयोगों में से एक था। पृथ्वी के आकार का उनका अनुमान आश्चर्यजनक रूप से सटीक था, खासकर जब यह विचार करते हुए कि उनके पास केवल बहुत ही बुनियादी मापने के उपकरण थे।

बेशक, किलोमीटर जैसी आधुनिक इकाइयों में अपने मूल परिणामों का अनुवाद करना मुश्किल हो सकता है। प्राचीन ग्रीस में, दूरी को स्टेडिया (लगभग 160 मीटर) में मापा गया था, लेकिन कोई सार्वभौमिक मानक नहीं था। हर क्षेत्र में थोड़ा अलग संस्करण था, और हम यह नहीं जानते कि कौन से एराटोस्थनीज़ ने उपयोग किया।

निम्नलिखित शताब्दियों में, वैज्ञानिकों ने पृथ्वी की त्रिज्या की गणना करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करने की कोशिश की - कभी-कभी बहुत अलग और गलत परिणामों के साथ।

यह इन गलत मापों में से एक था जिसने क्रिस्टोफर कोलंबस को पुर्तगाल से पश्चिम की ओर जाने के लिए प्रेरित किया। उन्होंने मान लिया कि पृथ्वी वास्तव में इससे बहुत छोटी है, और भारत पहुंचने की उम्मीद है। वास्तव में, वह बीच में एक अलग महाद्वीप में पहुंचे: अमेरिका।

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