मंडलियां और पाईक्षेत्रों, शंकु और सिलिन्डरों

पिछले खंडों में, हमने एक सपाट सतह पर हलकों के गुणों का अध्ययन किया। लेकिन हमारी दुनिया वास्तव में त्रि-आयामी है, इसलिए कुछ 3 डी ठोसों पर एक नज़र डालते हैं जो हलकों पर आधारित हैं:

गौर करें कि एक गोले की परिभाषा लगभग एक की परिभाषा के समान कैसे है त्रिज्या घन - तीन आयामों को छोड़कर!

सिलेंडर

एक सिलेंडर की मात्रा

एक सिलेंडर के ऊपर और नीचे दो सर्वांगसम वृत्त होते हैं, जिन्हें आधार कहते हैं । एक बेलन की ऊँचाई h इन ठिकानों के बीच की दूरी है, और एक बेलन का त्रिज्या r केवल वृताकार आधारों की त्रिज्या है।

हम एक का उपयोग कर एक सिलेंडर अनुमानित कर सकते हैं ${n} -सूखे प्रिज्म जैसे-जैसे पक्षों की संख्या बढ़ती है, प्रिज्म सिलेंडर की तरह अधिक से अधिक दिखाई देने लगता है:

भले ही एक सिलेंडर तकनीकी रूप से एक प्रिज्म नहीं है, लेकिन वे कई गुणों को साझा करते हैं। दोनों स्थितियों में, हम उनके क्षेत्रफल को गुणा करके आयतन ज्ञात कर सकते हैं उनके साथ आधार ऊंचाई । इसका मतलब है कि त्रिज्या वाला सिलेंडर आर और ऊंचाई ज में आयतन है

V=

याद रखें कि त्रिज्या और ऊंचाई समान इकाइयों का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आर और एच दोनों सेमी में हैं, तो वॉल्यूम में होगा cm3cm2 सेमी ।

एक तिरछे सिलिंडर का आयतन बिलकुल वैसा ही होता है जैसा कि एक ही त्रिज्या और ऊँचाई के साथ एक दायें सिलिंडर का होता है। यह कैवलियरी के सिद्धांत के कारण है, जिसका नाम इतालवी गणितज्ञ बोनावेंटुरा कैवेलियरी के नाम पर रखा गया है: यदि दो ठोसों में प्रत्येक ऊंचाई पर समान पार-अनुभागीय क्षेत्र होता है, तो उनके पास समान मात्रा होगी।

एक सिलेंडर को पतली डिस्क के बहुत से टुकड़े करने की कल्पना करें। हम तब तिरछे सिलेंडर प्राप्त करने के लिए इन डिस्क को क्षैतिज रूप से स्लाइड कर सकते हैं। व्यक्तिगत डिस्क का आयतन नहीं बदलता क्योंकि आप इसे तिरछा बनाते हैं, इसलिए कुल आयतन भी स्थिर रहता है:

एक सिलेंडर की सतह क्षेत्र

इसका मतलब है कि त्रिज्या आर और ऊंचाई एच के साथ एक सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र द्वारा दिया गया है

A= ।

हमारी दुनिया में हर जगह सिलेंडर मिल सकते हैं - सोडा के डिब्बे से लेकर टॉयलेट पेपर या पानी के पाइप तक। क्या आप किसी अन्य उदाहरण के बारे में सोच सकते हैं?

ऊपर स्थित गैसमीटर का दायरा 35 मीटर और ऊंचाई 120 मीटर थी। अब हम गणना कर सकते हैं कि इसकी मात्रा लगभग m3 और इसका सतह क्षेत्र लगभग approximately m2 ।

कोन

एक शंकु का आयतन

इसका मतलब यह भी है कि हम वॉल्यूम के लिए समीकरण का उपयोग कर सकते हैं: V=13base×height । शंकु का आधार एक चक्र है, इसलिए त्रिज्या आर और ऊंचाई एच के साथ एक शंकु की मात्रा है

V=

एक सिलेंडर की मात्रा के लिए समीकरण के साथ समानता को नोटिस करें। एक ही आधार और ऊंचाई के साथ, शंकु के चारों ओर एक सिलेंडर खींचने की कल्पना करें - इसे परिचालित सिलेंडर कहा जाता है। अब, शंकु ठीक ऊपर ले जाएगा आधा सिलेंडर की मात्रा का :

नोट: आप सोच सकते हैं कि एक सन्निकटन के रूप में असीम रूप से कई छोटे पक्ष थोड़ा "अभेद्य" है। गणितज्ञों ने शंकु की मात्रा की गणना करने के लिए एक अधिक सीधा रास्ता खोजने की कोशिश में लंबा समय बिताया। 1900 में, महान गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट ने इसे गणित में 23 सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्याओं में से एक के रूप में नामित किया! आज हम जानते हैं कि यह वास्तव में असंभव है।

एक शंकु का भूतल क्षेत्र

अंत में, हमें बस के क्षेत्र को जोड़ना होगा आधार और का क्षेत्र क्षेत्र , कुल सतह को प्राप्त करने के लिए शंकु हैं:

A=

क्षेत्रों

एक पिछले अनुभाग में आपने सीखा यूनानी गणितज्ञ एरेटोस्थेनेज एक पोल की छाया का उपयोग कर पृथ्वी की त्रिज्या गणना कैसे की जाती है - यह 6371 किलोमीटर था। अब, आइए पृथ्वी के कुल आयतन और सतह क्षेत्र को खोजने का प्रयास करें। जारी रखें

एक क्षेत्र का आयतन

एक गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए, हमें एक बार फिर कैवलियरी के सिद्धांत का उपयोग करना होगा। चलो गोलार्ध से शुरू करते हैं - भूमध्य रेखा के साथ आधे में एक गोला काटा। हमें गोलार्ध के समान त्रिज्या और ऊंचाई वाले सिलेंडर की भी आवश्यकता होती है, लेकिन बीच में एक उल्टे शंकु "कट आउट" के साथ।

जैसे ही आप नीचे स्लाइडर ले जाते हैं, आप आधार के ऊपर एक विशिष्ट ऊंचाई पर इन दोनों आकृतियों के क्रॉस-सेक्शन को देख सकते हैं:

आइए हम इन दोनों ठोस पदार्थों के अंतर-अनुभागीय क्षेत्र को कुछ दूरी पर खोजने का प्रयास करें आधार के ऊपर ऊँचाई h ।

ऐसा लगता है कि दोनों ठोसों का हर स्तर पर समान पार-अनुभागीय क्षेत्र है। कैवलियरी के सिद्धांत के अनुसार, दोनों ठोस पदार्थों की समान होनी चाहिए सतह क्षेत्र परिधि ! हम सिलेंडर के आयतन और शंकु की मात्रा को घटाकर गोलार्ध का आयतन ज्ञात कर सकते हैं:

एक गोले में गोलार्ध होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसकी मात्रा होनी चाहिए

V=43πr3 ।

यदि आप एक सिलेंडर, शंकु और गोले के आयतन के समीकरणों की तुलना करते हैं, तो आप ज्यामिति में सबसे संतोषजनक संबंधों में से एक को नोटिस कर सकते हैं। कल्पना कीजिए कि हमारे पास आधार के व्यास के समान ऊंचाई वाला एक सिलेंडर है। हम अब एक शंकु और एक गोले को इसके अंदर पूरी तरह से फिट कर सकते हैं:

अगर हम तो नोटिस कैसे करें घटाना शंकु और गोले की मात्रा को करें, हमें सिलेंडर का आयतन बिल्कुल मिलता है!

सतह क्षेत्र का एक क्षेत्र

एक गोले की सतह क्षेत्र के लिए एक सूत्र खोजना बहुत मुश्किल है। एक कारण यह है कि हम एक गोले की सतह को खोल और "समतल" नहीं कर सकते हैं, जैसे हमने पहले शंकु और सिलेंडर के लिए किया था।

नक्शे बनाने की कोशिश करते समय यह एक विशेष मुद्दा है। पृथ्वी की एक घुमावदार, तीन आयामी सतह है, लेकिन हर मुद्रित नक्शे को सपाट और द्वि-आयामी होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि भूगोलकारों को धोखा देना पड़ता है: कुछ क्षेत्रों को बढ़ाकर या निचोड़कर।

यहां आप कुछ अलग प्रकार के नक्शे देख सकते हैं, जिन्हें अनुमान कहा जाता है । लाल वर्ग को स्थानांतरित करने का प्रयास करें, और देखें कि यह क्षेत्र वास्तव में ग्लोब पर कैसा दिखता है:

एक गोले के सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, हम एक बार फिर इसे एक अलग आकार का उपयोग करके अनुमानित कर सकते हैं - उदाहरण के लिए बहुत सारे चेहरे के साथ एक पॉलीहेड्रॉन। जैसे-जैसे चेहरों की संख्या बढ़ती है, पॉलीहेड्रोन एक गोले की तरह अधिक से अधिक दिखना शुरू हो जाता है।

आ रहा है SOON: क्षेत्र का सतही क्षेत्र प्रमाण