शब्दकोष

बाईं ओर एक कीवर्ड चुनें ...

मंडलियां और पाईक्षेत्रों, शंकु और सिलिन्डरों

पढ़ने का समय: ~60 min
इस पृष्ठ का स्वचालित रूप से अनुवाद किया गया है और इसमें त्रुटियां हो सकती हैं। कृपया हमसे संपर्क करें यदि आप अनुवादों की समीक्षा करने में हमारी सहायता करना चाहते हैं!

पिछले खंडों में, हमने एक सपाट सतह पर हलकों के गुणों का अध्ययन किया। लेकिन हमारी दुनिया वास्तव में त्रि-आयामी है, इसलिए कुछ 3 डी ठोसों पर एक नज़र डालते हैं जो हलकों पर आधारित हैं:

एक सिलेंडर में दो सर्वांगसम होते हैं, एक घुमावदार सतह से जुड़ने वाले समानांतर वृत्त।

एक शंकु में एक गोलाकार आधार होता है जो एक बिंदु पर जाता है (जिसे शीर्ष कहा जाता है)।

एक गोले की सतह पर प्रत्येक बिंदु अपने केंद्र से समान दूरी पर है।

गौर करें कि एक गोले की परिभाषा लगभग एक की परिभाषा के समान कैसे है - तीन आयामों को छोड़कर!

सिलेंडर

यहां आप जर्मनी के ओबरहॉसन में बेलनाकार गैसोमीटर देख सकते हैं। यह प्राकृतिक गैस का भंडारण करता था जिसका उपयोग आस-पास के कारखानों और बिजली संयंत्रों में ईंधन के रूप में किया जाता था। गैसोमीटर 120 मीटर लंबा है, और इसका आधार और छत त्रिज्या 35 मीटर के साथ दो बड़े वृत्त हैं। दो महत्वपूर्ण प्रश्न हैं जिनका जवाब इंजीनियर देना चाहते हैं:

  • कितनी प्राकृतिक गैस संग्रहित की जा सकती है? यह सिलेंडर का
  • गैसोमीटर के निर्माण के लिए कितना स्टील चाहिए? यह (लगभग) सिलेंडर का

आइए इन दोनों परिणामों के लिए सूत्र खोजने का प्रयास करें!

गैसोमीटर ओबरहाउज़ेन

एक सिलेंडर की मात्रा

एक सिलेंडर के ऊपर और नीचे दो सर्वांगसम वृत्त होते हैं, जिन्हें आधार कहते हैं एक बेलन की ऊँचाई h इन ठिकानों के बीच की दूरी है, और एक बेलन का त्रिज्या r केवल वृताकार आधारों की त्रिज्या है।

हम एक का उपयोग कर एक सिलेंडर अनुमानित कर सकते हैं ${n} -सूखे प्रिज्म जैसे-जैसे पक्षों की संख्या बढ़ती है, प्रिज्म सिलेंडर की तरह अधिक से अधिक दिखाई देने लगता है:

भले ही एक सिलेंडर तकनीकी रूप से एक प्रिज्म नहीं है, लेकिन वे कई गुणों को साझा करते हैं। दोनों स्थितियों में, हम उनके क्षेत्रफल को गुणा करके आयतन ज्ञात कर सकते हैं उनके साथ आधार ऊंचाई । इसका मतलब है कि त्रिज्या वाला सिलेंडर आर और ऊंचाई में आयतन है

V=

याद रखें कि त्रिज्या और ऊंचाई समान इकाइयों का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आर और एच दोनों सेमी में हैं, तो वॉल्यूम में होगा

ऊपर के उदाहरणों में, सिलेंडर के दो आधार हमेशा एक दूसरे के ऊपर होते थे: इसे एक सही सिलेंडर कहा जाता है। यदि कुर्सियां सीधे एक दूसरे के ऊपर नहीं हैं, तो हमारे पास एक तिरछा सिलेंडर है । आधार अभी भी समानांतर हैं, लेकिन दोनों तरफ एक कोण पर "झुक" लगते हैं जो 90° नहीं है।

इटली में पीसा का लीनिंग टॉवर एक तिरछा सिलेंडर नहीं है।

एक तिरछे सिलिंडर का आयतन बिलकुल वैसा ही होता है जैसा कि एक ही त्रिज्या और ऊँचाई के साथ एक दायें सिलिंडर का होता है। यह कैवलियरी के सिद्धांत के कारण है, जिसका नाम इतालवी गणितज्ञ बोनावेंटुरा कैवेलियरी के नाम पर रखा गया है: यदि दो ठोसों में प्रत्येक ऊंचाई पर समान पार-अनुभागीय क्षेत्र होता है, तो उनके पास समान मात्रा होगी।

एक सिलेंडर को पतली डिस्क के बहुत से टुकड़े करने की कल्पना करें। हम तब तिरछे सिलेंडर प्राप्त करने के लिए इन डिस्क को क्षैतिज रूप से स्लाइड कर सकते हैं। व्यक्तिगत डिस्क का आयतन नहीं बदलता क्योंकि आप इसे तिरछा बनाते हैं, इसलिए कुल आयतन भी स्थिर रहता है:

एक सिलेंडर की सतह क्षेत्र

एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, हमें इसे अपने फ्लैट नेट में "अनरोल" करना होगा। आप इसे स्वयं आजमा सकते हैं, उदाहरण के लिए खाने की कैन पर लेबल को छीलकर।

दो , एक शीर्ष पर और एक सिलेंडर के नीचे स्थित है। घुमावदार पक्ष वास्तव में एक बड़ी

  • प्रत्येक क्षेत्र में दो वृत्त हैं
  • आयत की ऊंचाई है और आयत की चौड़ाई के समान है मंडलियों की :

इसका मतलब है कि त्रिज्या आर और ऊंचाई एच के साथ एक सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र द्वारा दिया गया है

A=

हमारी दुनिया में हर जगह सिलेंडर मिल सकते हैं - सोडा के डिब्बे से लेकर टॉयलेट पेपर या पानी के पाइप तक। क्या आप किसी अन्य उदाहरण के बारे में सोच सकते हैं?

ऊपर स्थित गैसमीटर का दायरा 35 मीटर और ऊंचाई 120 मीटर थी। अब हम गणना कर सकते हैं कि इसकी मात्रा लगभग m3 और इसका सतह क्षेत्र लगभग approximately m2

कोन

शंकु एक त्रि-आयामी ठोस होता है जिसमें एक गोलाकार होता है आधार । आरेख में दिखाए गए अनुसार इसका पक्ष "ऊपर की ओर", और एकल बिंदु में समाप्त होता है जिसे कहा जाता है वर्टेक्स

शंकु की त्रिज्या परिपत्र आधार की त्रिज्या है, और शंकु की ऊंचाई आधार से शिखर तक लंबवत दूरी है।

पहले जो अन्य आकृतियाँ हमें मिलीं, जैसे शंकु हमारे चारों ओर हैं: आइसक्रीम कोन, ट्रैफिक शंकु, कुछ छतें और यहां तक कि क्रिसमस ट्री भी। आप और क्या सोच सकते हैं?

एक शंकु का आयतन

हमने पहले एक सिलेंडर का आयतन प्रिज्म का उपयोग करके इसे अनुमानित किया था। इसी तरह, हम एक पिरामिड का उपयोग करके एक शंकु की मात्रा पा सकते हैं।

यहाँ आप देख सकते हैं a ${n} -साथ पिरामिड। जैसे-जैसे पक्षों की संख्या बढ़ती है, पिरामिड शंकु की तरह अधिक से अधिक दिखाई देने लगता है। वास्तव में, हम शंकु को पिरामिड के रूप में असीम रूप से कई पक्षों के बारे में सोच सकते हैं!

इसका मतलब यह भी है कि हम वॉल्यूम के लिए समीकरण का उपयोग कर सकते हैं: V=13base×height । शंकु का आधार एक चक्र है, इसलिए त्रिज्या आर और ऊंचाई एच के साथ एक शंकु की मात्रा है

V=

एक सिलेंडर की मात्रा के लिए समीकरण के साथ समानता को नोटिस करें। एक ही आधार और ऊंचाई के साथ, शंकु के चारों ओर एक सिलेंडर खींचने की कल्पना करें - इसे परिचालित सिलेंडर कहा जाता है। अब, शंकु ठीक ऊपर ले जाएगा सिलेंडर की मात्रा का :

नोट: आप सोच सकते हैं कि एक सन्निकटन के रूप में असीम रूप से कई छोटे पक्ष थोड़ा "अभेद्य" है। गणितज्ञों ने शंकु की मात्रा की गणना करने के लिए एक अधिक सीधा रास्ता खोजने की कोशिश में लंबा समय बिताया। 1900 में, महान गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट ने इसे गणित में 23 सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्याओं में से एक के रूप में नामित किया! आज हम जानते हैं कि यह वास्तव में असंभव है।

सिलेंडर की तरह, एक शंकु को "सीधा" होना जरूरी नहीं है। यदि शीर्ष सीधे आधार के केंद्र पर है, तो हमारे पास एक सही शंकु है । अन्यथा, हम इसे तिरछा शंकु कहते हैं

एक बार फिर, हम कैवलियरी के सिद्धांत का उपयोग करके दिखा सकते हैं कि सभी तिरछे शंकु में समान मात्रा है, जब तक कि उनके पास एक ही आधार और ऊंचाई है।

एक शंकु का भूतल क्षेत्र

शंकु के सतह क्षेत्र को खोजना थोड़ा अधिक मुश्किल है। पहले की तरह, हम एक शंकु को इसके जाल में खोल सकते हैं। स्लाइडर देखें कि क्या होता है: इस स्थिति में, हमें एक सर्कल और एक

अब हमें बस इन दोनों घटकों के क्षेत्र को जोड़ना है। आधार त्रिज्या आर के साथ एक चक्र है, इसलिए इसका क्षेत्र है

ABase=

की त्रिज्या सेक्टर एक शंकु के रिम से उसके शीर्ष तक की दूरी के समान है। इसे कहते हैं तिरछी ऊंचाई नहीं शंकु के है, और सामान्य रूप में एक ही ऊंचाई एचपाइथागोरस का उपयोग करके हम तिरछी ऊँचाई पा सकते हैं:

s2=
s=

सेक्टर की चाप की लंबाई के समान है आधार : 2πr । अब हम सूत्र हम एक पिछले अनुभाग में व्युत्पन्न का उपयोग कर क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

ASector=ACircle×arccircumference
=

अंत में, हमें बस के क्षेत्र को जोड़ना होगा आधार और का क्षेत्र क्षेत्र , कुल सतह को प्राप्त करने के लिए शंकु हैं:

A=

क्षेत्रों

एक गोला एक तीन आयामी ठोस होता है जिसमें सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए से समान दूरी पर होते हैं केंद्र सी । इस दूरी को कहा जाता है क्षेत्र के त्रिज्या आर

आप एक क्षेत्र को "तीन-आयामी सर्कल " के रूप में सोच सकते हैं। एक वृत्त की तरह, एक गोले में भी एक होता है व्यास d , जो त्रिज्या की लंबाई, साथ ही जीवा और धर्मनिरपेक्ष।

एक पिछले अनुभाग में आपने सीखा यूनानी गणितज्ञ एरेटोस्थेनेज एक पोल की छाया का उपयोग कर पृथ्वी की त्रिज्या गणना कैसे की जाती है - यह 6371 किलोमीटर था। अब, आइए पृथ्वी के कुल आयतन और सतह क्षेत्र को खोजने का प्रयास करें।

एक क्षेत्र का आयतन

एक गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए, हमें एक बार फिर कैवलियरी के सिद्धांत का उपयोग करना होगा। चलो गोलार्ध से शुरू करते हैं - भूमध्य रेखा के साथ आधे में एक गोला काटा। हमें गोलार्ध के समान त्रिज्या और ऊंचाई वाले सिलेंडर की भी आवश्यकता होती है, लेकिन बीच में एक उल्टे शंकु "कट आउट" के साथ।

जैसे ही आप नीचे स्लाइडर ले जाते हैं, आप आधार के ऊपर एक विशिष्ट ऊंचाई पर इन दोनों आकृतियों के क्रॉस-सेक्शन को देख सकते हैं:

आइए हम इन दोनों ठोस पदार्थों के अंतर-अनुभागीय क्षेत्र को कुछ दूरी पर खोजने का प्रयास करें आधार के ऊपर ऊँचाई h

गोलार्ध का क्रॉस-सेक्शन हमेशा एक

क्रॉस-सेक्शन का त्रिज्या x एक का हिस्सा है समकोण त्रिभुज , इसलिए हम पाइथागोरस का उपयोग कर सकते हैं:

r2=h2+x2

अब, क्रॉस सेक्शन का क्षेत्र है

A=

कट-आउट सिलेंडर का क्रॉस-सेक्शन हमेशा एक

छेद का त्रिज्या h है । हम छेद के क्षेत्र को बड़े सर्कल के क्षेत्र से घटाकर रिंग का क्षेत्र पा सकते हैं:

=πr2πh2
=πr2h2

ऐसा लगता है कि दोनों ठोसों का हर स्तर पर समान पार-अनुभागीय क्षेत्र है। कैवलियरी के सिद्धांत के अनुसार, दोनों ठोस पदार्थों की समान होनी चाहिए ! हम सिलेंडर के आयतन और शंकु की मात्रा को घटाकर गोलार्ध का आयतन ज्ञात कर सकते हैं:

VHemisphere=VCylinderVCone
=

एक गोले में गोलार्ध होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसकी मात्रा होनी चाहिए

V=43πr3

पृथ्वी 6,371  किमी के त्रिज्या के साथ (लगभग) एक गोला है। इसलिए इसकी मात्रा है

V=
= 1 km3

पृथ्वी का औसत घनत्व है 5510kg/m3 । इसका मतलब है कि इसका कुल द्रव्यमान है

Mass=Volume×Density6×1024kg

यह एक 6 के बाद 24 शून्य है!

यदि आप एक सिलेंडर, शंकु और गोले के आयतन के समीकरणों की तुलना करते हैं, तो आप ज्यामिति में सबसे संतोषजनक संबंधों में से एक को नोटिस कर सकते हैं। कल्पना कीजिए कि हमारे पास आधार के व्यास के समान ऊंचाई वाला एक सिलेंडर है। हम अब एक शंकु और एक गोले को इसके अंदर पूरी तरह से फिट कर सकते हैं:

+

इस शंकु में त्रिज्या है r और ऊंचाई 2r । इसकी मात्रा है

=

इस क्षेत्र में त्रिज्या है r । इसकी मात्रा है

इस सिलेंडर में त्रिज्या है r और ऊंचाई 2r । इसकी मात्रा है

अगर हम तो नोटिस कैसे करें शंकु और गोले की मात्रा को करें, हमें सिलेंडर का आयतन बिल्कुल मिलता है!

सतह क्षेत्र का एक क्षेत्र

एक गोले की सतह क्षेत्र के लिए एक सूत्र खोजना बहुत मुश्किल है। एक कारण यह है कि हम एक गोले की सतह को खोल और "समतल" नहीं कर सकते हैं, जैसे हमने पहले शंकु और सिलेंडर के लिए किया था।

नक्शे बनाने की कोशिश करते समय यह एक विशेष मुद्दा है। पृथ्वी की एक घुमावदार, तीन आयामी सतह है, लेकिन हर मुद्रित नक्शे को सपाट और द्वि-आयामी होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि भूगोलकारों को धोखा देना पड़ता है: कुछ क्षेत्रों को बढ़ाकर या निचोड़कर।

यहां आप कुछ अलग प्रकार के नक्शे देख सकते हैं, जिन्हें अनुमान कहा जाता है । लाल वर्ग को स्थानांतरित करने का प्रयास करें, और देखें कि यह क्षेत्र वास्तव में ग्लोब पर कैसा दिखता है:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

एक गोले के सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, हम एक बार फिर इसे एक अलग आकार का उपयोग करके अनुमानित कर सकते हैं - उदाहरण के लिए बहुत सारे चेहरे के साथ एक पॉलीहेड्रॉन। जैसे-जैसे चेहरों की संख्या बढ़ती है, पॉलीहेड्रोन एक गोले की तरह अधिक से अधिक दिखना शुरू हो जाता है।

आ रहा है SOON: क्षेत्र का सतही क्षेत्र प्रमाण

Archie