रेखांकन और नेटवर्कप्लेनर रेखांकन
यहां एक और पहेली है जो ग्राफ सिद्धांत से संबंधित है।
एक छोटे से गांव में तीन घर और तीन उपयोगिता संयंत्र हैं जो पानी, बिजली और गैस का उत्पादन करते हैं। हमें प्रत्येक पाठ्यक्रम को प्रत्येक उपयोगिता पौधों से जोड़ना है, लेकिन गांव के लेआउट के कारण, विभिन्न पाइपों और केबलों को पार करने की अनुमति नहीं है।

नीचे दी गई सभी यूटिलिटी कंपनियों में से प्रत्येक को, आपकी किसी भी पंक्तियों को जोड़ने के बिना, घरों को जोड़ने की कोशिश करें:
पहले की तरह ही कोनिग्सबर्ग पुल, आपको जल्दी पता चलता है कि यह समस्या भी असंभव है। ऐसा लगता है कि ओवरलैपिंग किनारों के बिना कुछ ग्राफ खींचे जा सकते हैं - इन्हें प्लानर ग्राफ कहा जाता है - लेकिन अन्य नहीं कर सकते।
पूर्ण रेखांकन में, प्रत्येक शीर्ष हर दूसरे शीर्ष से जुड़ा होता है। n कोने के साथ एक पूर्ण ग्राफ़ में
तीन उपयोगिताओं पहेली में A (पूर्ण) द्विदलीय ग्राफ में दो सेट होते हैं। प्रत्येक शीर्ष विपरीत सेट में सभी शीर्षों से जुड़ा हुआ है, लेकिन अपने स्वयं के सेट में कोई भी कोने नहीं है। ग्राफ़ के उपखंड बनाने के लिए आप इसके किनारों पर अतिरिक्त कोने जोड़ते हैं। ग्राफ़ के उपखंड बनाने के लिए आप इसके किनारों पर अतिरिक्त कोने जोड़ते हैं।
planarity
यह एक प्लानर ग्राफ है, लेकिन
यूलर का फॉर्मूला
सभी प्लेन ग्राफ उन विमानों को विभाजित करते हैं जिन्हें वे कई क्षेत्रों में खींचते हैं, जिन्हें चेहरे कहा जाता है ।
इन संख्याओं की तुलना करते समय, आप देखेंगे कि किनारों की संख्या हमेशा लियोनहार्ड यूलर (१ 17० 17 - १ was was३) इतिहास के सबसे महान गणितज्ञ थे। उनका काम गणित के सभी क्षेत्रों तक फैला हुआ है, और उन्होंने 80 खंडों का शोध लिखा है। यूलर का जन्म स्विट्जरलैंड में हुआ था और उसने बेसेल में अध्ययन किया, लेकिन वह अपना अधिकांश जीवन बर्लिन, प्रशिया और सेंट पीटर्सबर्ग, रूस में रहा। यूलर ने आधुनिक गणितीय शब्दावली और संकेतन का बहुत आविष्कार किया और कलन, विश्लेषण, ग्राफ सिद्धांत, भौतिकी, खगोल विज्ञान और कई अन्य विषयों में महत्वपूर्ण खोजें कीं।
दुर्भाग्य से, अनंत रूप से कई ग्राफ हैं और हम यह देखने के लिए हर एक की जांच नहीं कर सकते हैं कि क्या यूलर का समीकरण काम करता है। इसके बजाय हम एक सरल एक प्रमाण एक तार्किक तर्क है जो किसी भी संदेह से परे दिखाता है कि एक निश्चित कथन सत्य है।
F | V | E |
0 | 1 | 0 |
0 + 1 = 0 + 1
किसी भी (परिमित) ग्राफ का निर्माण एक शीर्ष के साथ शुरू करके और एक-एक करके अधिक शीर्ष जोड़कर किया जा सकता है। हमने दिखाया है कि, जो भी हम नए कोने जोड़ते हैं, यूलर का समीकरण मान्य है। इसलिए यह सभी ग्राफ के लिए मान्य है।
हमने जिस प्रक्रिया का उपयोग किया है उसे गणितीय प्रेरण कहा जाता है। यह बहुत से मामलों में परिणाम साबित करने के लिए एक बहुत ही उपयोगी तकनीक है, बस सबसे सरल मामले से शुरू करके, और यह दिखाते हुए कि अधिक जटिल मामलों का निर्माण करते समय परिणाम हर कदम पर होता है।
कई प्लानर रेखांकन बहुत एक पॉलीहेड्रॉन (बहुवचन पॉलीहेड्रा) एक तीन आयामी ठोस है जिसमें कोई घुमावदार सतह या किनारे नहीं हैं। एक पॉलीहेड्रॉन के सभी चेहरे बहुभुज हैं। उदाहरण के लिए, एक घन और एक पिरामिड पॉलीहेड्रा हैं, लेकिन एक गोला नहीं है। एक बहुभुज ज्यामितीय आकार है जो सीधी रेखा के खंडों से बना है। बहुभुजों में कोई घुमावदार पक्ष या छिद्र नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, एक वर्ग बहुभुज है लेकिन एक वृत्त नहीं है।


इसका अर्थ है कि हम यूलर के फार्मूले का उपयोग न केवल प्लानर ग्राफ के लिए, बल्कि सभी पॉलीहेड्रा के लिए भी कर सकते हैं - एक छोटे अंतर के साथ। पॉलीहेड्रा को रेखांकन में बदलने पर, चेहरों में से एक गायब हो जाता है: पॉलीहेड्रा का सबसे ऊपरी चेहरा "बाहर" बन जाता है; रेखांकन के।
दूसरे शब्दों में, यदि आप की संख्या गिनते हैं किनारों , चेहरे और किसी भी पॉलीहेड्रॉन के कोने , आप पाएंगे एफ + वी = ई +
विंशतिफलक 20 चेहरे 12 चक्कर 30 किनारों
Rhombicosidodecahedron 62 चेहरे 60 चक्कर 120 किनारों
कटे हुए इकोसाहेड्रॉन 32 चेहरे (12 काले, 20 सफेद) 60 चक्कर 90 किनारों