शब्दकोष

बाईं ओर एक कीवर्ड चुनें ...

बहुभुज और पॉलीहेड्राबहुभुज

पढ़ने का समय: ~35 min
इस पृष्ठ का स्वचालित रूप से अनुवाद किया गया है और इसमें त्रुटियां हो सकती हैं। कृपया हमसे संपर्क करें यदि आप अनुवादों की समीक्षा करने में हमारी सहायता करना चाहते हैं!

एक बहुभुज एक बंद, सपाट आकार है जिसमें केवल सीधे पक्ष होते हैं। बहुभुजों में किसी भी पक्ष और कोण हो सकते हैं, लेकिन पक्ष घुमावदार नहीं हो सकते। नीचे की कौन सी आकृति बहुभुज हैं?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

हम बहुभुजों को अलग-अलग नाम देते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि उनके पास कितने पक्ष हैं:

number-3

Triangle
3 sides

number-4

Quadrilateral
4 sides

number-5

Pentagon
5 sides

number-6

Hexagon
6 sides

number-7

Heptagon
7 sides

number-8

Octagon
8 sides

बहुभुज में कोण

एन पक्षों के साथ प्रत्येक बहुभुज में एन आंतरिक कोण भी होते हैं । हम पहले से ही जानते हैं कि एक त्रिभुज में आंतरिक कोण का योग हमेशा ° होता है लेकिन अन्य बहुभुजों का क्या?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

ऐसा लगता है कि चतुर्भुज में आंतरिक कोणों का योग हमेशा ° होता है - ठीक एक त्रिभुज में कोणों का योग। यह कोई संयोग नहीं है: प्रत्येक चतुर्भुज को दो त्रिकोणों में विभाजित किया जा सकता है।

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

वही बड़े बहुभुजों के लिए भी काम करता है। हम एक पेंटागन को त्रिकोणों में विभाजित कर सकते हैं, इसलिए इसका आंतरिक कोण योग है 3×180°= ° है। और हम एक षट्भुज को त्रिकोणों में विभाजित कर सकते हैं, इसलिए इसका आंतरिक कोण योग है 4×180°= °

एक बहुभुज ${x} पक्षों में 180° × का आंतरिक कोण योग होगा ${x-2} = ${(x-2)*180}°। आम तौर पर, एन पक्षों के साथ एक बहुभुज को में विभाजित किया जा सकता है त्रिकोण। इसलिए,

एक एन -गन में आंतरिक कोणों का योग =n2×180°

उत्तल और अवतल बहुभुज

हम कहते हैं कि एक बहुभुज अवतल है यदि इसमें एक खंड है जो "इंगित करता है"। आप कल्पना कर सकते हैं कि इस भाग में "घुड़सवार" है । बहुभुज जो अवतल नहीं होते हैं उन्हें उत्तल कहा जाता है

ऐसे दो तरीके हैं जिनसे आप अवतल बहुभुज को आसानी से पहचान सकते हैं: उनके पास कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो 180° से बड़ा होता है । उनके पास कम से कम एक विकर्ण है जो बहुभुज के बाहर स्थित है

उत्तल बहुभुज में, दूसरी ओर, सभी आंतरिक कोण ° से कम होते हैं, और सभी विकर्ण झूठ बोलते बहुभुज के

इनमें से कौन से बहुभुज अवतल हैं?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

नियमित बहुभुज

हम कहते हैं कि एक बहुभुज नियमित है अगर उसके सभी पक्षों की लंबाई समान है, और सभी कोणों का आकार समान है। इनमें से कौन सी आकृति नियमित बहुभुज हैं?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

नियमित बहुभुज कई अलग-अलग आकारों में आ सकते हैं - लेकिन समान संख्याओं वाले सभी नियमित बहुभुज !

हम पहले से ही बहुभुज में सभी आंतरिक कोणों का योग जानते हैं। नियमित बहुभुजों के लिए इन सभी कोणों का , इसलिए हम एक आंतरिक कोण के आकार को काम कर सकते हैं:

कोण = = 180°×x2x=180°360°x

अगर n=3 हम एक समबाहु त्रिभुज के आंतरिक कोण का आकार प्राप्त करते हैं - हम पहले से ही जानते हैं कि यह ° होना चाहिए। के साथ एक नियमित बहुभुज में ${x} पक्ष, प्रत्येक आंतरिक कोण 180° है - 360°${x} = ${round(180-360/x)}°।

नियमित बहुभुज का क्षेत्र

यहां आप एक नियमित बहुभुज देख सकते हैं ${n} पक्षों। हर तरफ की लंबाई है 1 मी । आइए इसके क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें!

सबसे पहले, हम बहुभुज में विभाजित कर सकते हैं ${toWord(n)} सर्वांगसम, त्रिभुज।

हमें पहले से ही पता है इन त्रिकोणों का , लेकिन हमें भी चाहिए इसके क्षेत्र की गणना करने में सक्षम होने के लिए नियमित बहुभुजों में, इस ऊंचाई को कभी-कभी कहा जाता है एपोटेम

ध्यान दें कि एपोटेम द्वारा गठित समकोण त्रिभुज है और समद्विबाहु त्रिभुज का आधा आधार। इसका मतलब है कि हम त्रिकोणमिति का उपयोग कर सकते हैं!

समद्विबाहु त्रिभुज का आधार कोण (चलो उन्हें α कहते हैं) बहुभुज के आंतरिक कोण के आकार:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

एपोटेम को खोजने के लिए, हम की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं :

tanα=oppositeadjacent=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

अब, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

बहुभुज के होते हैं ${toWord(n)} इन समद्विबाहु त्रिभुजों के, जिनमें से सभी का क्षेत्रफल समान है। इसलिए, बहुभुज का कुल क्षेत्रफल है

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Archie