बहुभुज और पॉलीहेड्राचतुर्भुज

पिछले कोर्स में हमने कई अलग-अलग गुणों की जाँच की। अब हम चतुर्भुज पर एक नजर डालते हैं।

एक नियमित चतुर्भुज को एक कहा जाता है । इसके सभी पक्षों की लंबाई समान है, और इसके सभी कोण समान हैं।

एक वर्ग एक चतुर्भुज होता है जिसमें चार समान भुजाएँ और चार समान कोण होते हैं ।

थोड़ा "कम नियमित" चतुर्भुज के लिए, हमारे पास दो विकल्प हैं। अगर हम चाहते हैं कि कोण बराबर हों, तो हमें एक आयत मिलती है। यदि हम चाहते हैं कि पक्ष समान हों, तो हम एक समभुज प्राप्त करते हैं।

आयत चार समान कोणों वाला एक चतुर्भुज है।

एक समभुज चार समान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज है।

कुछ अन्य चतुर्भुज हैं, जो कम नियमित हैं लेकिन फिर भी कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं:

यदि विपरीत पक्षों के दोनों जोड़े समानांतर हैं , तो हमें एक समांतर चतुर्भुज मिलता है।

यदि आसन्न पक्षों के दो जोड़े समान लंबाई के हैं, तो हमें पतंग मिलती है।

यदि विपरीत पक्षों की कम से कम एक जोड़ी समानांतर है, तो हमें एक ट्रेपेज़ियम मिलता है।

चतुर्भुज इन श्रेणियों में से कई में गिर सकते हैं। हम विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों के पदानुक्रम को वेन आरेख के रूप में देख सकते हैं :

उदाहरण के लिए, प्रत्येक आयत एक भी है , और हर एक प्रकार का भी एक पतंग है। एक रोम्बस एक वर्ग और एक आयत होता है एक ट्रेपेज़ियम ।

किसी भी अस्पष्टता से बचने के लिए, हम आमतौर पर सिर्फ सबसे विशिष्ट प्रकार का उपयोग करते हैं।

अब बाईं ओर ग्रे बॉक्स में कहीं भी, चार अंक चुनें। हम सभी को एक चतुर्भुज बनाने के लिए जोड़ सकते हैं।

आइए, चारों पक्षों में से प्रत्येक का मध्यबिंदु खोजें। यदि हम मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें मिलता है ।

बाहरी चतुर्भुज के कोने को हिलाने की कोशिश करें और देखें कि छोटे से क्या होता है। ऐसा लगता है कि यह केवल किसी भी चतुर्भुज नहीं है, लेकिन हमेशा एक !

लेकिन ऐसा क्यों है? किसी भी चतुर्भुज के लिए परिणाम हमेशा समांतर चतुर्भुज होने चाहिए? हमें समझाने में मदद करने के लिए, हमें मूल चतुर्भुज के विकर्णों में से एक को आकर्षित करने की आवश्यकता है।

विकर्ण चतुर्भुज को दो त्रिकोणों में विभाजित करता है। और अब आप देख सकते हैं कि आंतरिक चतुर्भुज के दो पहलू वास्तव में इन त्रिभुजों के ।

पिछले पाठ्यक्रम में हमने दिखाया कि एक त्रिभुज का मध्यवृत्त हमेशा उसके आधार के समानांतर होता है। इस मामले में, इसका मतलब है कि ये दोनों पक्ष विकर्ण के समानांतर हैं - इसलिए उन्हें भी होना चाहिए ।

हम चतुर्भुज के दूसरे विकर्ण के साथ बिल्कुल वैसा ही कर सकते हैं, यह दिखाने के लिए कि विपरीत पक्षों के दोनों जोड़े समानांतर हैं। और यह हम सभी को यह साबित करने की आवश्यकता है कि आंतरिक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

समानांतर चतुर्भुज

यह पता चला है कि समांतर चतुर्भुज में कई अन्य दिलचस्प गुण हैं, अन्य विपरीत पक्षों के समानांतर हैं। निम्नलिखित छह में से कौन सा कथन सत्य है?

The opposite sides are congruent.

The internal angles are always less than 90°.

The diagonals bisect the internal angles.

The opposite angles are congruent.

Both diagonals are congruent.

Adjacent sides have the same length

The two diagonals bisect each other in the middle.

बेशक, बस इन गुणों का "अवलोकन" पर्याप्त नहीं है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे हमेशा सच हैं, हमें उन्हें साबित करने की आवश्यकता है:

विपरीत पक्ष और कोण

आइए यह साबित करने की कोशिश करें कि एक समानांतर चतुर्भुज में विपरीत पक्ष और कोण हमेशा बधाई होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों में से एक को आकर्षित करके प्रारंभ करें।

विकर्ण समांतर चतुर्भुज के किनारों के साथ चार नए कोण बनाता है। दो लाल कोण और दो नीले कोण वैकल्पिक कोण हैं , इसलिए उन्हें प्रत्येक के होना चाहिए ।

अब अगर हम विकर्ण द्वारा बनाई गई दो त्रिकोणों को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि उनके पास दो सर्वांगसम कोण हैं, और एक सर्वांगसम पक्ष । द्वारा सर्वांगसमता की स्थिति, दोनों त्रिभुजों को एक दूसरे के अनुरूप होना चाहिए।

इसका मतलब यह है कि त्रिभुजों के अन्य संबंधित भागों को भी अनुरूप होना चाहिए: विशेष रूप से, विपरीत पक्षों के दोनों जोड़े सर्वांगसम हैं, और विपरीत कोणों के दोनों जोड़े बधाई हैं।

यह पता चला है कि आक्षेप भी सत्य है: यदि चतुर्भुज में विपरीत पक्षों (या कोण) के दोनों जोड़े सर्वांगसम हैं, तो चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज होना चाहिए।

विकर्णों

अब साबित करें कि एक समांतर चतुर्भुज में दो विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं।

आइए विकर्णों द्वारा उत्पन्न दो पीले त्रिकोणों के बारे में सोचते हैं:

हमने सिर्फ यह साबित किया है कि दो हरे पक्ष एक-दूसरे के अनुकूल हैं, क्योंकि वे एक समानांतर चतुर्भुज के विपरीत हैं। * दो लाल कोण और दो नीले कोण समान हैं, क्योंकि वे ।

द्वारा स्थिति, दोनों पीले त्रिकोणों को भी अनिवार्य होना चाहिए।

अब हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि अनुरूप त्रिभुजों के संगत भागों को भी अभिनंदन किया जाता है, ताकि निष्कर्ष निकाला जा सके AM‾ = CM‾ तथा BM‾ = DM‾ । दूसरे शब्दों में, दो विकर्ण अपने मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

पहले की तरह, विपरीत भी सच है: यदि एक चतुर्भुज के दो विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

काइट्स

हमने ऊपर दिखाया कि दो जोड़े समांतर चतुर्भुज के भाग सर्वांगसम होते हैं। पतंग में, आसन्न पक्षों के दो जोड़े बधाई हैं।

पतंग नाम स्पष्ट रूप से अपने आकार से आता है: यह पतंग की तरह दिखता है जिसे आप आकाश में उड़ सकते हैं। हालाँकि, अब तक जितने भी विशेष चतुर्भुजों को हमने देखा है, उनमें से पतंग एकमात्र ऐसी है, जिसे अवतल भी बनाया जा सकता है : यदि इसका आकार डार्ट या तीर के आकार का है:

एक उत्तल पतंग

एक अवतल पतंग जो तीर की तरह दिखाई देती है

आपने देखा होगा कि सभी पतंग । समरूपता की धुरी से ।

विकर्ण दो पतंग त्रिकोण में पतंग को विभाजित करता है। हम जानते हैं कि वे एसएसएस स्थिति से बधाई हैं: दोनों त्रिकोणों में तीन सर्वांगसम पक्ष (लाल, हरा और नीला) हैं।

CPOCT का उपयोग करते हुए , हम इसलिए जानते हैं कि संबंधित कोणों को भी अनुरूप होना चाहिए।

इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, कि विकर्ण एक दो कोणों के का सिरा।

हम आगे भी जा सकते हैं: यदि हम दूसरे विकर्ण को आकर्षित करते हैं, तो हमें दो और छोटे त्रिकोण मिलते हैं। एसएएस की स्थिति के कारण इन्हें भी बधाई दी जानी चाहिए: उनके दो पक्ष हैं और इसमें कोण भी शामिल है ।

इसका मतलब है कि कोण α भी कोण β के समान होना चाहिए। चूंकि वे आसन्न हैं, पूरक कोण α और are दोनों ° होना चाहिए।

दूसरे शब्दों में, पतंग के विकर्ण हमेशा होते हैं ।

चतुर्भुज का क्षेत्र

पिछले पाठ्यक्रम में त्रिकोणों के क्षेत्र की गणना करते समय, हमने इसे एक में बदलने की चाल का उपयोग किया यह पता चला है कि हम कुछ चतुर्भुजों के लिए भी ऐसा कर सकते हैं:

चतुर्भुज

बाईं ओर, एक आयत बनाने की कोशिश करें जिसमें समांतर चतुर्भुज के समान क्षेत्र हो।

क्या आप देख सकते हैं कि बाईं ओर गायब त्रिकोण दाईं ओर ओवरलैपिंग त्रिकोण ? इसलिए एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है

क्षेत्र = आधार × ऊंचाई

समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई को मापते समय सावधान रहें: यह आमतौर पर दो पक्षों में से एक के समान नहीं होता है।

समलंब

याद रखें कि समलम्बाकार चतुर्भुज होते हैं, जिनमें से एक समांतर भुजाएँ होती हैं । इन समानांतर पक्षों को ट्रेपेज़ियम के आधार कहा जाता है।

पहले की तरह, एक आयत बनाने की कोशिश करें जिसमें इस ट्रेपेज़ियम के समान क्षेत्र हो। क्या आप देख सकते हैं कि बाईं और दाईं ओर गायब और जोड़े गए त्रिभुज कैसे रद्द करते हैं?

इस आयत की ऊंचाई के की ट्रैपेज़ियम के समानांतर पक्षों की ।

आयत की चौड़ाई बीच की दूरी है के दो गैर-समानांतर पक्षों के । इसे ट्रेपेज़ियम का मध्य-काल कहा जाता है।

त्रिकोण के साथ की तरह, एक ट्रेपेज़ियम का मध्यक अपने दो ठिकानों । मिडसीलेशन की लंबाई आधारों की लंबाई का औसत है: a+c2 ।

अगर हम यह सब गठबंधन है, हम समानांतर भुजाएं एक और सी, और ऊंचाई एच के साथ एक चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए एक समीकरण मिलती है:

A=h×a+c2

पतंग

इस पतंग में, दो विकर्ण पतंग के चारों ओर एक बड़ी आयत की चौड़ाई और ऊंचाई बनाते हैं।

इस आयत का क्षेत्रफल पतंग का क्षेत्र। क्या आप देख सकते हैं कि पतंग बनाने वाले चार त्रिकोणों में से प्रत्येक इसके बाहर चार अंतराल के समान है?

इसका मतलब है कि विकर्ण के साथ पतंग का क्षेत्र डी 1 और d2 है

क्षेत्र = 12 d1 × d2 ।

विषमकोण

एक रोम्बस एक चतुर्भुज है जिसमें चार सर्वांगसम भुजाएँ हैं। आपको याद हो सकता है कि प्रत्येक रंबल एक - और एक भी ।

इसका मतलब यह है कि एक समभुज के क्षेत्र को खोजने के लिए, हम या तो समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए समीकरण का उपयोग कर सकते हैं, या कि पतंग के क्षेत्र के लिए:

क्षेत्र = आधार × ऊँचाई = 12 d1 × d2 ।

विभिन्न संदर्भों में, आपको एक Rhombus (भुजाएँ, ऊँचाई, विकर्ण) के अलग-अलग हिस्से दिए जा सकते हैं, और आपको जो भी समीकरण अधिक सुविधाजनक है, चुनना चाहिए।

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