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Tiếng Việtबहुभुज और पॉलीहेड्राचतुर्भुज
पिछले कोर्स में हमने कई अलग-अलग गुणों की जाँच की। अब हम चतुर्भुज पर एक नजर डालते हैं।
एक नियमित चतुर्भुज को एक
एक वर्ग एक चतुर्भुज होता है जिसमें चार समान भुजाएँ और चार समान कोण होते हैं ।
थोड़ा "कम नियमित" चतुर्भुज के लिए, हमारे पास दो विकल्प हैं। अगर हम चाहते हैं कि कोण बराबर हों, तो हमें एक एक आयत एक चतुर्भुज है जिसमें सभी चार कोण 90 ° हैं। A rhombus (बहुवचन है rhombuse या rhombi) एक चतुर्भुज है जिसमें सभी पक्षों की लंबाई समान है।
आयत चार समान कोणों वाला एक चतुर्भुज है।
एक समभुज चार समान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज है।
कुछ अन्य चतुर्भुज हैं, जो कम नियमित हैं लेकिन फिर भी कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं:
यदि विपरीत पक्षों के दोनों जोड़े दो या दो से अधिक लाइनें समानांतर हैं यदि वे कभी भी इंटरसेक्ट नहीं होती हैं। उनके पास एक ही ढलान है और उनके बीच की दूरी हमेशा स्थिर होती है। दो या दो से अधिक लाइनें समानांतर हैं यदि वे कभी भी इंटरसेक्ट नहीं होती हैं। उनके पास एक ही ढलान है और उनके बीच की दूरी हमेशा स्थिर होती है।
यदि आसन्न पक्षों के दो जोड़े समान लंबाई के हैं, तो हमें पतंग मिलती है।
यदि विपरीत पक्षों की कम से कम एक जोड़ी समानांतर है, तो हमें एक ट्रेपेज़ियम मिलता है।
चतुर्भुज इन श्रेणियों में से कई में गिर सकते हैं। हम विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों के पदानुक्रम को एक वेन आरेख एक से अधिक गुणों या घटनाओं की कल्पना करता है जो ओवरलैप करते हैं।
उदाहरण के लिए, प्रत्येक आयत एक
किसी भी अस्पष्टता से बचने के लिए, हम आमतौर पर सिर्फ सबसे विशिष्ट प्रकार का उपयोग करते हैं।
अब बाईं ओर ग्रे बॉक्स में कहीं भी, चार अंक चुनें। हम सभी को एक चतुर्भुज बनाने के लिए जोड़ सकते हैं।
आइए, चारों पक्षों में से प्रत्येक का मध्यबिंदु खोजें। यदि हम मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें
बाहरी चतुर्भुज के कोने को हिलाने की कोशिश करें और देखें कि छोटे से क्या होता है। ऐसा लगता है कि यह केवल किसी भी चतुर्भुज नहीं है, लेकिन हमेशा एक
लेकिन ऐसा क्यों है? किसी भी चतुर्भुज के लिए परिणाम हमेशा समांतर चतुर्भुज होने चाहिए? हमें समझाने में मदद करने के लिए, हमें मूल चतुर्भुज के बहुभुज का एक विकर्ण एक रेखा खंड है जो दो वर्टीकल को जोड़ता है जो एक दूसरे के बगल में नहीं होते हैं।
विकर्ण चतुर्भुज को दो त्रिकोणों में विभाजित करता है। और अब आप देख सकते हैं कि आंतरिक चतुर्भुज के दो पहलू वास्तव में
पिछले पाठ्यक्रम में हमने दिखाया कि एक त्रिभुज का त्रिभुज का मध्यलेख वे रेखाएं हैं जो त्रिकोण के विभिन्न पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ती हैं।
हम चतुर्भुज के दूसरे विकर्ण के साथ बिल्कुल वैसा ही कर सकते हैं, यह दिखाने के लिए कि विपरीत पक्षों के दोनों जोड़े समानांतर हैं। और यह हम सभी को यह साबित करने की आवश्यकता है कि आंतरिक चतुर्भुज एक एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दोनों पक्षों के जोड़े समानांतर हैं।
समानांतर चतुर्भुज
यह पता चला है कि समांतर चतुर्भुज में कई अन्य दिलचस्प गुण हैं, अन्य विपरीत पक्षों के समानांतर हैं। निम्नलिखित छह में से कौन सा कथन सत्य है?
ज्यामिति में, दो आंकड़े अनुरूप हैं यदि आकार, आकृति और माप में समान हैं। इसका मतलब है कि हम एक दूसरे के शीर्ष पर फिट होने के लिए उन्हें स्थानांतरित, फ्लिप या घुमा सकते हैं।
एक कोण द्विभाजक एक रेखा या किरण है जो एक कोण को आधे में विभाजित करती है, दो अनुरूप, छोटे कोणों में।
बेशक, बस इन गुणों का "अवलोकन" पर्याप्त नहीं है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे हमेशा सच हैं, हमें उन्हें साबित करने की आवश्यकता है:
विपरीत पक्ष और कोण
विकर्णों
आइए यह साबित करने की कोशिश करें कि एक समानांतर चतुर्भुज में विपरीत पक्ष और कोण हमेशा बधाई होते हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्णों में से एक को आकर्षित करके प्रारंभ करें।
विकर्ण समांतर चतुर्भुज के किनारों के साथ चार नए कोण बनाता है। दो लाल कोण और दो नीले कोण वैकल्पिक कोण दो समानांतर रेखाओं से बनते हैं जो एक ट्रैवर्सल लाइन द्वारा पार किए जाते हैं, और वे हमेशा बधाई होते हैं। नीचे दिए गए आरेख में, 1, 2, 3 और 4 के कोणों के प्रत्येक जोड़े वैकल्पिक हैं। हर जोड़ी में दो कोण एक अलग समानांतर रेखा पर, और ट्रैवर्सल के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं। कोण जोड़े 1 और 2 को वैकल्पिक बाहरी कोण कहा जाता है, क्योंकि वे समानांतर रेखाओं के बाहर स्थित होते हैं, और कोण जोड़े 3 और 4 को वैकल्पिक आंतरिक कोण कहा जाता है।
अब अगर हम विकर्ण द्वारा बनाई गई दो त्रिकोणों को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि उनके पास दो सर्वांगसम कोण हैं, और एक सर्वांगसम पक्ष ।
इसका मतलब यह है कि त्रिभुजों के अन्य संबंधित भागों को भी अनुरूप होना चाहिए: विशेष रूप से, विपरीत पक्षों के दोनों जोड़े सर्वांगसम हैं, और विपरीत कोणों के दोनों जोड़े बधाई हैं।
यह पता चला है कि आक्षेप भी सत्य है: यदि चतुर्भुज में विपरीत पक्षों (या कोण) के दोनों जोड़े सर्वांगसम हैं, तो चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज होना चाहिए।
अब साबित करें कि एक समांतर चतुर्भुज में दो विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं।
आइए विकर्णों द्वारा उत्पन्न दो पीले त्रिकोणों के बारे में सोचते हैं:
- हमने सिर्फ यह साबित किया है कि दो हरे पक्ष एक-दूसरे के अनुकूल हैं, क्योंकि वे एक समानांतर चतुर्भुज के विपरीत हैं। * दो लाल कोण और दो नीले कोण समान हैं, क्योंकि वे
??? ।
अब हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि अनुरूप त्रिभुजों के संगत भागों को भी अभिनंदन किया जाता है, ताकि निष्कर्ष निकाला जा सके
पहले की तरह, विपरीत भी सच है: यदि एक चतुर्भुज के दो विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
काइट्स
हमने ऊपर दिखाया कि दो जोड़े
पतंग नाम स्पष्ट रूप से अपने आकार से आता है: यह पतंग की तरह दिखता है जिसे आप आकाश में उड़ सकते हैं। हालाँकि, अब तक जितने भी विशेष चतुर्भुजों को हमने देखा है, उनमें से पतंग एकमात्र ऐसी है, जिसे एक अवतल बहुभुज में कम से कम एक आंतरिक कोण 180 ° से अधिक होता है। विकर्णों में से कम से कम एक_ बहुभुज के बाहर _है। अवतल बहुभुज की पहचान करने का एक सामान्य तरीका बहुभुज के "कैव्ड-इन" पक्ष को देखना है। अवतल उत्तल बहुभुज के विपरीत है। एक अवतल बहुभुज में कम से कम एक आंतरिक कोण 180 ° से अधिक होता है। विकर्णों में से कम से कम एक_ बहुभुज के बाहर _है। अवतल बहुभुज की पहचान करने का एक सामान्य तरीका बहुभुज के "कैव्ड-इन" पक्ष को देखना है। अवतल उत्तल बहुभुज के विपरीत है।
एक उत्तल पतंग
एक अवतल पतंग जो तीर की तरह दिखाई देती है
आपने देखा होगा कि सभी पतंग यदि किसी आकृति में परावर्तित समरूपता होती है, तो सममिति का अक्ष वह रेखा होती है जो उसे दो बराबर हिस्सों में विभाजित करती है। यदि किसी आकृति में परावर्तित समरूपता होती है, तो सममिति का अक्ष वह रेखा होती है जो उसे दो बराबर हिस्सों में विभाजित करती है।
विकर्ण दो पतंग त्रिकोण में पतंग को विभाजित करता है। हम जानते हैं कि वे यदि दो भुजाएँ समान लंबाई की हों तो दो त्रिकोण अभिनंदन हैं। इसे त्रिभुजों के लिए SSS बधाई स्थिति कहा जाता है। यदि दो भुजाएँ समान लंबाई की हों तो दो त्रिकोण अभिनंदन हैं। इसे त्रिभुजों के लिए SSS बधाई स्थिति कहा जाता है।
CPOCT का अर्थ है अनुरूप त्रिभुजों का संगत भाग। इसका अर्थ है कि यदि दो त्रिभुज सम्मिलित हैं, तो उनके सभी संबंधित घटक (कोण, भुजाएँ, मध्य-रेखा, ...) भी एक-दूसरे के सम्मिलित होने चाहिए। CPOCT का अर्थ है अनुरूप त्रिभुजों का संगत भाग। इसका अर्थ है कि यदि दो त्रिभुज सम्मिलित हैं, तो उनके सभी संबंधित घटक (कोण, भुजाएँ, मध्य-रेखा, ...) भी एक-दूसरे के सम्मिलित होने चाहिए।
इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, कि विकर्ण एक
हम आगे भी जा सकते हैं: यदि हम दूसरे विकर्ण को आकर्षित करते हैं, तो हमें दो और छोटे त्रिकोण मिलते हैं। यदि दो भुजाएँ समान लंबाई की हों तो दो त्रिकोण अभिनंदन हैं। इसे त्रिभुजों के लिए SSS बधाई स्थिति कहा जाता है।
इसका मतलब है कि कोण α भी कोण β के समान होना चाहिए। चूंकि वे आसन्न हैं, दो कोण पूरक हैं यदि वे 180 ° (एक अर्ध वृत्त) तक जोड़ते हैं।
दूसरे शब्दों में, पतंग के विकर्ण हमेशा
चतुर्भुज का क्षेत्र
पिछले पाठ्यक्रम में त्रिकोणों के क्षेत्र की गणना करते समय, हमने इसे एक
चतुर्भुज
समलंब
पतंग
विषमकोण
बाईं ओर, एक आयत बनाने की कोशिश करें जिसमें समांतर चतुर्भुज के समान क्षेत्र हो।
क्या आप देख सकते हैं कि बाईं ओर गायब त्रिकोण
क्षेत्र = आधार × ऊंचाई
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई को मापते समय सावधान रहें: यह आमतौर पर दो पक्षों में से एक के समान नहीं होता है।
याद रखें कि समलम्बाकार चतुर्भुज होते हैं, जिनमें से एक समांतर भुजाएँ होती हैं । इन समानांतर पक्षों को ट्रेपेज़ियम के आधार कहा जाता है।
पहले की तरह, एक आयत बनाने की कोशिश करें जिसमें इस ट्रेपेज़ियम के समान क्षेत्र हो। क्या आप देख सकते हैं कि बाईं और दाईं ओर गायब और जोड़े गए त्रिभुज कैसे रद्द करते हैं?
इस आयत की ऊंचाई के
आयत की चौड़ाई
त्रिभुज का मध्यलेख वे रेखाएं हैं जो त्रिकोण के विभिन्न पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ती हैं।
अगर हम यह सब गठबंधन है, हम समानांतर भुजाएं एक और सी, और ऊंचाई एच के साथ एक चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए एक समीकरण मिलती है:
इस पतंग में, दो विकर्ण पतंग के चारों ओर एक बड़ी आयत की चौड़ाई और ऊंचाई बनाते हैं।
इस आयत का क्षेत्रफल
इसका मतलब है कि विकर्ण के साथ पतंग का क्षेत्र डी 1 और d2 है
क्षेत्र =
एक A rhombus (बहुवचन है rhombuse या rhombi) एक चतुर्भुज है जिसमें सभी पक्षों की लंबाई समान है।
इसका मतलब यह है कि एक समभुज के क्षेत्र को खोजने के लिए, हम या तो समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए समीकरण का उपयोग कर सकते हैं, या कि पतंग के क्षेत्र के लिए:
क्षेत्र = आधार × ऊँचाई =
विभिन्न संदर्भों में, आपको एक Rhombus (भुजाएँ, ऊँचाई, विकर्ण) के अलग-अलग हिस्से दिए जा सकते हैं, और आपको जो भी समीकरण अधिक सुविधाजनक है, चुनना चाहिए।