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बहुभुज और पॉलीहेड्राप्लैटोनिक सॉलिड्स

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इस पाठ्यक्रम की शुरुआत में हमने नियमित बहुभुजों को विशेष रूप से "सममित" बहुभुज के रूप में परिभाषित किया, जहां सभी पक्ष और कोण समान हैं। हम पॉलीहेड्रा के लिए कुछ ऐसा ही कर सकते हैं।

एक नियमित बहुतल में सभी चेहरे सभी नियमित बहुभुज के एक ही तरह है, और हर शिखर पर चेहरे मिलने की एक ही नंबर है। इन दो गुणों वाले पॉलीहेड्रा को प्लेटोनिक ठोस कहा जाता है, जिसका नाम ग्रीक दार्शनिक प्लेटो के नाम पर रखा गया है।

तो प्लेटोनिक ठोस क्या दिखते हैं - और उनमें से कितने हैं? त्रि-आयामी आकार बनाने के लिए, हमें प्रत्येक शीर्ष पर मिलने के लिए कम से कम चेहरे चाहिए। आइए व्यवस्थित रूप से सबसे छोटे नियमित बहुभुज से शुरू करें: समबाहु त्रिकोण:

यदि हम एक पॉलीहेड्रॉन बनाते हैं जहां तीन समबाहु त्रिकोण हर शीर्ष पर मिलते हैं, तो हमें बाईं ओर आकृति मिलती है। इसे टेट्राहेड्रॉन कहा जाता है और इसके चेहरे हैं। ("टेट्रा" का अर्थ ग्रीक में "चार") है।

यदि चार समबाहु त्रिकोण प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं, तो हमें एक अलग प्लैटोनिक ठोस मिलता है। इसे ऑक्टाहेड्रॉन कहा जाता है और इसके चेहरे हैं। ("ऑक्टा" का अर्थ ग्रीक में "आठ" है। जैसे "ऑक्टागन" का अर्थ है 8-पक्षीय आकार, "ऑक्टाहेड्रॉन" का अर्थ है 8-सामना करना पड़ा ठोस। "

यदि त्रिकोण प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं, तो हमें इकोसाहेड्रोन मिलता है। इसके चेहरे हैं। ("इकोसा" का अर्थ ग्रीक में "बीस" है)

यदि त्रिकोण प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं, तो कुछ अलग होता है: हमें बस मिलता , इसके बजाय एक तीन आयामी पॉलीहेड्रॉन।

और प्रत्येक शीर्ष पर सात या अधिक त्रिभुज भी नए पॉलीहेड्रा का उत्पादन नहीं करते हैं: एक वर्टेक्स के चारों ओर पर्याप्त जगह नहीं है, जिससे कि कई त्रिभुज फिट हो सकें।

इसका मतलब है कि हमने त्रिभुजों से मिलकर प्लेटोनिक ठोस देखे हैं। चलो अगले नियमित बहुभुज पर चलते हैं: वर्ग।

यदि हर वर्ग में वर्ग मिलते हैं, तो हमें घन मिलता है। पासा की तरह, इसके चेहरे हैं। "सिक्स" के लिए ग्रीक शब्द "हेक्सा" के बाद क्यूब को कभी-कभी _हेक्साहेड्रोन भी कहा जाता है।_

यदि हर वर्ग में वर्ग मिलते हैं, तो हमें मिलता है और पहले की तरह, पांच या अधिक वर्ग भी काम नहीं करेंगे।

अगला, नियमित रूप से पेंटागन आज़माएँ:

अगर हर शिखर पर पेंटागन मिलते हैं, तो हमें डोडेकेहेड्रोन मिलता है। इसके चेहरे हैं। ("Dodeca" का अर्थ ग्रीक में "बारह" है)

पहले की तरह, चार या अधिक पेंटागन क्योंकि पर्याप्त जगह नहीं है।

अगले नियमित बहुभुज की कोशिश हेक्सागोन्स हैं:

यदि तीन हेक्सागोन्स हर शीर्ष पर मिलते हैं, तो हम तुरंत एक प्राप्त करते चूंकि तीन से अधिक के लिए कोई स्थान नहीं है, ऐसा लगता है कि हेक्सागोन से मिलकर प्लैटोनिक ठोस नहीं हैं।

छह से अधिक पक्षों वाले सभी नियमित बहुभुजों के लिए भी यही होता है। वे टेसलेट नहीं करते हैं, और हमें निश्चित रूप से कोई तीन आयामी बहुभुज नहीं मिलते हैं।

इसका मतलब है कि सिर्फ प्लैटोनिक ठोस हैं! आइए एक साथ उन सभी पर एक नज़र डालें:

चतुर्पाश्वीय

चेहरे
कार्यक्षेत्र
किनारों

घनक्षेत्र

चेहरे
लम्बवत
किनारों

octahedron

चेहरे
लम्बवत
किनारों

Dodecahedron

चेहरे
20 चक्कर
30 किनारों

विंशतिफलक

चेहरे
12 चक्कर
30 किनारों

ध्यान दें कि चेहरे और कोने की संख्या को कैसे क्यूब और ऑक्टाहेड्रोन के लिए , साथ ही डोडेकेहेड्रोन और इकोसैहेड्रॉन , जबकि किनारों की संख्या । प्लेटोनिक ठोस के इन जोड़े को दोहरे ठोस कहा जाता है।

हम एक पॉलीहेड्रॉन को उसके दोहरे में बदल सकते हैं, "हर जगह" को एक शीर्ष के साथ, और प्रत्येक शीर्ष को एक चेहरे के साथ बदल सकते हैं। ये एनिमेशन दिखाते हैं कि:

टेट्राहेड्रॉन अपने आप में दोहरी है। चूँकि इसमें समान संख्या में चेहरे और कोने हैं, इसलिए उन्हें स्वैप करने से कुछ भी नहीं बदलेगा।

प्लेटो का मानना था कि ब्रह्मांड के सभी पदार्थों में चार तत्व शामिल हैं: वायु, पृथ्वी, जल और अग्नि। उसने सोचा था कि प्रत्येक तत्व प्लेटोनिक ठोस में से एक के अनुरूप है, जबकि पांचवां एक पूरे के रूप में ब्रह्मांड का प्रतिनिधित्व करेगा। आज हम जानते हैं कि 100 से अधिक विभिन्न तत्व हैं जिनमें गोलाकार परमाणु होते हैं, न कि पॉलीहेड्रा।

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

आर्किमिडीज सॉलिड्स

प्लेटोनिक ठोस विशेष रूप से महत्वपूर्ण पॉलीहेड्रा हैं, लेकिन अनगिनत अन्य हैं।

उदाहरण के लिए, आर्किमिडीज़ ठोस , अभी भी नियमित बहुभुजों से बना है , लेकिन आप कई अलग-अलग प्रकारों का उपयोग कर सकते हैं। उनका नाम एक अन्य यूनानी गणितज्ञ के नाम पर रखा गया, आर्किमिडीज ऑफ सिरैक्यूज़ , और उनमें से 13 हैं:

टेट्राहेड्रॉन को काट दिया
8 चेहरे, 12 कोने, 18 किनारे

Cuboctahedron
14 चेहरे, 12 कोने, 24 किनारे

काट दिया गया घन
14 चेहरे, 24 कोने, 36 किनारे

ऑक्टाहेड्रॉन को काट दिया
14 चेहरे, 24 कोने, 36 किनारे

Rhombicuboctahedron
26 चेहरे, 24 कोने, 48 किनारे

काटे गए क्यूबोक्टाहेड्रॉन
26 चेहरे, 48 कोने, 72 किनारे

स्नब क्यूब
38 चेहरे, 24 कोने, 60 किनारों

Icosidodecahedron
32 चेहरे, 30 कोने, 60 किनारों

काटे गए डोडेकाहेड्रोन
32 चेहरे, 60 कोने, 90 किनारों

कटे हुए इकोसाहेड्रॉन
32 चेहरे, 60 कोने, 90 किनारों

Rhombicosidodecahedron
62 चेहरे, 60 कोने, 120 किनारे

काटे गए इकोसाइडोडेकेड्रॉन
62 चेहरे, 120 कोने, 180 किनारे

स्नब डोडेकेहेड्रॉन
92 चेहरे, 60 कोने, 150 किनारों

अनुप्रयोग

प्लेटो यह मानने में गलत था कि सभी तत्वों में प्लेटोनिक ठोस होते हैं। लेकिन नियमित पॉलीहेड्रा में कई विशेष गुण होते हैं जो उन्हें प्रकृति में कहीं और दिखाई देते हैं - और हम इन गुणों को विज्ञान और इंजीनियरिंग में कॉपी कर सकते हैं।

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

कई वायरस , बैक्टीरिया और अन्य छोटे जीव आइकोसाहेड्रा के आकार के होते हैं। उदाहरण के लिए, वायरस, कई समान प्रोटीन इकाइयों के एक खोल के अंदर अपनी आनुवंशिक सामग्री को संलग्न करना चाहिए। यह करने के लिए सबसे कुशल तरीका है icosahedron, क्योंकि इसमें कुछ नियमित तत्व होते हैं लेकिन लगभग एक गोले के आकार का होता है।

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

कई अणुओं को नियमित पॉलीहेड्रा की तरह आकार दिया जाता है। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है C60 जिसमें 60 कार्बन परमाणु होते हैं, जो एक काटे गए इकोसैहेड्रोन के आकार में व्यवस्थित होते हैं।

इसकी खोज 1985 में हुई थी जब वैज्ञानिकों ने इंटरस्टेलर डस्ट पर शोध किया था। उन्होंने इसी तरह की दिखने वाली इमारतों के निर्माण के लिए प्रसिद्ध आर्किटेक्ट बकमिनस्टर फुलर के बाद इसका नाम "बकीबॉल" (या बकमिनस्टरफुलरिन) रखा।

Fluorite octahedron

Pyrite cube

अधिकांश क्रिस्टल में अपने परमाणुओं को व्यवस्थित ग्रिड में व्यवस्थित किया जाता है जिसमें टेट्राहेड्रा , क्यूब्स या ऑक्टाहेड्रा होते हैं । जब वे दरार या चकनाचूर होते हैं, तो आप इन आकृतियों को बड़े पैमाने पर देख सकते हैं।

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

टेट्राहेड्रा और ऑक्टाहेड्रा अविश्वसनीय रूप से कठोर और स्थिर हैं, जो उन्हें निर्माण में बहुत उपयोगी बनाता है। अंतरिक्ष फ्रेम बहुभुज संरचनाएं हैं जो बड़ी छतों और भारी पुलों का समर्थन कर सकती हैं।

Football

Polygonal role-playing dice

प्लेटोनिक ठोस का उपयोग पासा बनाने के लिए भी किया जाता है। उनकी समरूपता के कारण, हर पक्ष के सामने उतरने की संभावना है - इसलिए पासा उचित है।

ट्रंकेटेड इकोसैहेड्रॉन शायद दुनिया में सबसे प्रसिद्ध पॉलीहेड्रॉन है: यह फुटबॉल का आकार है।