बहुभुज और पॉलीहेड्राप्लैटोनिक सॉलिड्स
इस पाठ्यक्रम की शुरुआत में हमने
एक नियमित बहुतल में सभी
तो प्लेटोनिक ठोस क्या दिखते हैं - और उनमें से कितने हैं? त्रि-आयामी आकार बनाने के लिए, हमें प्रत्येक शीर्ष पर मिलने के लिए कम से कम
यदि हम एक पॉलीहेड्रॉन बनाते हैं जहां तीन
यदि चार समबाहु त्रिकोण प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं, तो हमें एक अलग प्लैटोनिक ठोस मिलता है। इसे ऑक्टाहेड्रॉन कहा जाता है और इसके
यदि
यदि
और प्रत्येक शीर्ष पर सात या अधिक त्रिभुज भी नए पॉलीहेड्रा का उत्पादन नहीं करते हैं: एक वर्टेक्स के चारों ओर पर्याप्त जगह नहीं है, जिससे कि कई त्रिभुज फिट हो सकें।
इसका मतलब है कि हमने त्रिभुजों से मिलकर
यदि हर वर्ग में
यदि हर वर्ग में
अगला, नियमित रूप से पेंटागन आज़माएँ:
अगर हर शिखर पर
पहले की तरह, चार या अधिक पेंटागन
अगले नियमित बहुभुज की कोशिश हेक्सागोन्स हैं:
यदि तीन हेक्सागोन्स हर शीर्ष पर मिलते हैं, तो हम तुरंत एक
छह से अधिक पक्षों वाले सभी नियमित बहुभुजों के लिए भी यही होता है। वे टेसलेट नहीं करते हैं, और हमें निश्चित रूप से कोई तीन आयामी बहुभुज नहीं मिलते हैं।
इसका मतलब है कि सिर्फ
चतुर्पाश्वीय
घनक्षेत्र
octahedron
Dodecahedron
20 चक्कर
30 किनारों
विंशतिफलक
12 चक्कर
30 किनारों
ध्यान दें कि चेहरे और कोने की संख्या को कैसे
हम एक पॉलीहेड्रॉन को उसके दोहरे में बदल सकते हैं, "हर जगह" को एक शीर्ष के साथ, और प्रत्येक शीर्ष को एक चेहरे के साथ बदल सकते हैं। ये एनिमेशन दिखाते हैं कि:
टेट्राहेड्रॉन अपने आप में दोहरी है। चूँकि इसमें समान संख्या में चेहरे और कोने हैं, इसलिए उन्हें स्वैप करने से कुछ भी नहीं बदलेगा।

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)
आर्किमिडीज सॉलिड्स
प्लेटोनिक ठोस विशेष रूप से महत्वपूर्ण पॉलीहेड्रा हैं, लेकिन अनगिनत अन्य हैं।
उदाहरण के लिए,
टेट्राहेड्रॉन को काट दिया
8 चेहरे, 12 कोने, 18 किनारे
Cuboctahedron
14 चेहरे, 12 कोने, 24 किनारे
काट दिया गया घन
14 चेहरे, 24 कोने, 36 किनारे
ऑक्टाहेड्रॉन को काट दिया
14 चेहरे, 24 कोने, 36 किनारे
Rhombicuboctahedron
26 चेहरे, 24 कोने, 48 किनारे
काटे गए क्यूबोक्टाहेड्रॉन
26 चेहरे, 48 कोने, 72 किनारे
स्नब क्यूब
38 चेहरे, 24 कोने, 60 किनारों
Icosidodecahedron
32 चेहरे, 30 कोने, 60 किनारों
काटे गए डोडेकाहेड्रोन
32 चेहरे, 60 कोने, 90 किनारों
कटे हुए इकोसाहेड्रॉन
32 चेहरे, 60 कोने, 90 किनारों
Rhombicosidodecahedron
62 चेहरे, 60 कोने, 120 किनारे
काटे गए इकोसाइडोडेकेड्रॉन
62 चेहरे, 120 कोने, 180 किनारे
स्नब डोडेकेहेड्रॉन
92 चेहरे, 60 कोने, 150 किनारों
अनुप्रयोग
प्लेटो यह मानने में गलत था कि सभी तत्वों में प्लेटोनिक ठोस होते हैं। लेकिन नियमित पॉलीहेड्रा में कई विशेष गुण होते हैं जो उन्हें प्रकृति में कहीं और दिखाई देते हैं - और हम इन गुणों को विज्ञान और इंजीनियरिंग में कॉपी कर सकते हैं।
Radiolaria skeleton
Icosahedral virus
कई वायरस , बैक्टीरिया और अन्य छोटे जीव
Buckyball molecule
Montreal Biosphere
कई अणुओं को नियमित पॉलीहेड्रा की तरह आकार दिया जाता है। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है
इसकी खोज 1985 में हुई थी जब वैज्ञानिकों ने इंटरस्टेलर डस्ट पर शोध किया था। उन्होंने इसी तरह की दिखने वाली इमारतों के निर्माण के लिए प्रसिद्ध आर्किटेक्ट
Fluorite octahedron
Pyrite cube
अधिकांश क्रिस्टल में अपने परमाणुओं को व्यवस्थित ग्रिड में व्यवस्थित किया जाता है जिसमें
Octagonal space frames
Louvre museum in Paris
टेट्राहेड्रा और ऑक्टाहेड्रा अविश्वसनीय रूप से कठोर और स्थिर हैं, जो उन्हें निर्माण में बहुत उपयोगी बनाता है। अंतरिक्ष फ्रेम बहुभुज संरचनाएं हैं जो बड़ी छतों और भारी पुलों का समर्थन कर सकती हैं।
Football
Polygonal role-playing dice
प्लेटोनिक ठोस का उपयोग पासा बनाने के लिए भी किया जाता है। उनकी समरूपता के कारण, हर पक्ष के सामने उतरने की