मंडलियां और पाईपरिचय

एक वृत्त पर प्रत्येक बिंदु अपने केंद्र से समान दूरी पर है। इसका मतलब है कि उन्हें कम्पास का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है:

मंडलियों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि सभी मंडल समान हैं । आप यह साबित कर सकते हैं कि कैसे सभी हलकों का मिलान और अनुवादों के उपयोग से मिलान किया जा सकता है :

आपको याद हो सकता है कि, समान बहुभुजों के लिए, संबंधित पक्षों के बीच का अनुपात हमेशा स्थिर होता है। सर्कल के लिए कुछ समान काम करता है: परिधि और व्यास के बीच का अनुपात सभी सर्कल के लिए समान है। एक रहस्यमय संख्या पाई कहा जाता है, जो अक्सर "पी" के लिए ग्रीक अक्षर π रूप में लिखा है - यह हमेशा 3.14159 है ...। पाई में अनंत रूप से कई दशमलव अंक हैं जो बिना किसी विशिष्ट पैटर्न के हमेशा के लिए चलते हैं:

यहां व्यास 1 के साथ एक पहिया है। जैसा कि आप परिधि को "अनियंत्रित" करते हैं, आप देख सकते हैं कि इसकी लंबाई बिल्कुल है π2·π 3 :

व्यास d के साथ एक वृत्त के लिए, परिधि है C=π×d । इसी तरह, त्रिज्या आर के साथ एक सर्कल के लिए, परिधि है

C= 2πrπrπr2 ।

मंडल पूरी तरह से सममित हैं, और उनके पास बहुभुज के कोनों की तरह कोई "कमजोर बिंदु" नहीं है। यह एक कारण है कि वे प्रकृति में हर जगह क्यों पाए जा सकते हैं:

और ऐसे कई अन्य उदाहरण हैं: इंद्रधनुष से लेकर पानी की लहर तक। क्या आप कुछ और सोच सकते हैं? जारी रखें

एक वृत्त का क्षेत्र

लेकिन हम वास्तव में एक सर्कल के क्षेत्र की गणना कैसे करते हैं? आइए हम उसी तकनीक का प्रयास करें जिसका उपयोग हमने चतुर्भुज के क्षेत्र को खोजने के लिए किया था: हम आकृति को कई अलग-अलग हिस्सों में काटते हैं, और फिर उन्हें एक अलग आकार में पुनर्व्यवस्थित करते हैं जिसे हम पहले से ही (जैसे एक आयत या एक त्रिकोण) के क्षेत्र को जानते हैं।

एकमात्र अंतर यह है कि, क्योंकि वृत्त घुमावदार हैं, हमें कुछ अनुमानों का उपयोग करना होगा:

यदि हम असीम रूप से कई रिंग्स या वेजेज का उपयोग कर सकते हैं, तो ऊपर दिए गए अनुमान सही होंगे - और वे दोनों हमें एक सर्कल के क्षेत्र के लिए एक ही फॉर्मूला देते हैं:

A=πr2 । जारी रखें

पाई की गणना

जैसा कि आपने ऊपर देखा, π=3.1415926… एक साधारण पूर्णांक नहीं है, और इसके दशमलव अंक बिना किसी दोहराए पैटर्न के हमेशा के लिए चलते हैं। इस गुण वाली संख्या को अपरिमेय संख्या कहा जाता है, और इसका अर्थ है कि π एक साधारण अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है ab ।

इसका यह भी अर्थ है कि हम पाई के सभी अंकों को कभी नहीं लिख सकते हैं - आखिरकार, असीम रूप से कई हैं। प्राचीन ग्रीक और चीनी गणितज्ञों ने नियमित बहुभुज का उपयोग करते हुए मंडलियों को लगाकर पाई के पहले चार दशमलव अंकों की गणना की। ध्यान दें कि जब आप अधिक पक्ष जोड़ते हैं, तो बहुभुज दिखने लगता है कम से बिल्कुल एक सर्कल की तरह:

पाई की गणना के लिए एक दृष्टिकोण संख्याओं के अनंत अनुक्रमों का उपयोग कर रहा है। यहाँ एक उदाहरण है जो 1676 में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ द्वारा खोजा गया था:

π=41−43+45−47+49−4+…

जैसा कि हम इस श्रृंखला के अधिक से अधिक शब्दों की गणना करते हैं, हमेशा उसी पैटर्न का अनुसरण करते हुए, परिणाम करीब और पाई के करीब पहुंच जाएगा।

यदि पाई सामान्य है, तो इसका मतलब है कि आप अंकों के किसी भी स्ट्रिंग के बारे में सोच सकते हैं, और यह इसके अंकों में कहीं दिखाई देगा। यहां आप पाई के पहले दस लाख अंकों की खोज कर सकते हैं - क्या उनमें आपका जन्मदिन है?

हम हैरी पॉटर की तरह एक पूरी किताब को भी अंकों के बहुत लंबे स्ट्रिंग में बदल सकते हैं (a = 01, b = 02, और इसी तरह)। यदि पाई सामान्य है, तो यह स्ट्रिंग अपने अंकों में कहीं दिखाई देगी - लेकिन इसे खोजने के लिए पर्याप्त अंकों की गणना करने में लाखों साल लगेंगे।

पाई को समझना आसान है, लेकिन विज्ञान और गणित में मौलिक महत्व है। यही कारण है कि हमारी संस्कृति में पाई असामान्य रूप से लोकप्रिय हो गई है (कम से कम, गणित के अन्य विषयों की तुलना में):

यहां तक कि हर साल एक पाई दिन है, जो या तो 14 मार्च को पड़ता है, क्योंकि π≈3.14 , या 22 जुलाई को, क्योंकि π≈227 ।